4.3. Спрямляемые кривые. Понятия комплексного интегрирования. Формула Римана-Грина

1. Спрямляемые кривые. Пусть где - действительный параметр, изменяющийся в пределах - непрерывная кривая. Каждому разбиению отрезка на частичные отрезки соответствует разбиение кривой на частичные дуги с начальными точками и конечными точками ; при этом конечная точка каждой дуги (кроме последней) будет совпадать с начальной точкой следующей за ней дуги. Соединяя точки по порядку отрезками прямых, получим ломаную , вписанную в кривую . Звенья этой ломаной суть хорды дуг . Очевидно, длина ломаной равна . Если эта величина, независимо от взятого разбиения, остается ограниченной:

,

то кривая называется спрямляемой, а верхняя грань указанных сумм называется длиной кривой.

Из определения длины спрямляемой кривой следует, что длина любой вписанной в кривую ломаной не превосходит длины кривой . Следовательно, длина спрямляемой кривой является пределом длин любой последовательности вписанных ломаных при условии, что максимальная длина сегментов, соответствующих разбиению отрезка , стремится к нулю. Частный класс спрямляемых кривых представляют гладкие кривые.

Непрерывная кривая называется гладкой, если среди параметрических уравнений кривой имеется хотя бы одно уравнение , такое, что функция обладает непрерывной и отличной от нуля производной на отрезке . Геометрически гладкая кривая характеризуется тем, что в каждой точке она обладает касательной, причем угол наклона касательной к действительной оси, равный , непрерывно изменяется, когда точка касания перемещается вдоль по кривой.

Длина гладкой кривой определяется так:

Так как модуль непрерывной функции на отрезке также непрерывен на том же отрезке, что сразу следует из неравенства

,

где , то интеграл

существует.

Более общий класс спрямляемых кривых представляют кусочно-гладкие кривые.

Непрерывная кривая называется кусочно-гладкой, если она составлена из конечного числа гладких кривых, или, выражаясь точнее, если для некоторого ее параметрического представления , отрезок может быть подразделен на конечное число отрезков , на каждом из которых функция обладает непрерывной и отличной от нуля производной. Из этого определения следует, что кусочно-гладкая кривая может и не иметь касательной в точках , но в каждой из этих точек существуют «левая» и «правая» касательные, так что указанные точки являются угловыми точками кусочно-гладкой кривой.

Простейшим примером кусочно-гладкой кривой может служить ломаная линия с конечным числом звеньев.

Длина кусочно-гладкой кривой определяется так:

Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с ее концом, то есть . В этом случае функцию можно считать непрерывной периодической функцией от действительного параметра с периодом , продолжив ее за пределы отрезка с помощью равенства .

Если одна и та же точка кривой соответствует двум или более различным значениям параметра , из которых, по крайней мере, одно отлично от и от , то такая точка называется кратной. Кривая, не имеющая кратных точек, называется простой или жордановой кривой. Из этого определения следует, что в случае отсутствия самопересечений и самокасаний, непрерывная спрямляемая кривая будет жордановой кривой.

Имеет место

Теорема Жордана.

Каждая замкнутая жорданова кривая делит плоскость на две различные области, для которых она является общей границей.

2. Понятие комплексного интегрирования. Пусть - спрямляемая кривая и - функция, определенная и непрерывная на .

Так как криволинейные интегралы

,

существуют, то существует и выражение вида

. (4.3.1)

Этот интеграл называют комплексным интегралом.

Из (4.3.1) следует, что на интегралы от функций комплексного переменного распространяются обычные свойства криволинейных интегралов второго типа:

1) (4.3.2)

Здесь через обозначается кривая, отличающаяся от только направлением обхода.

2) (4.3.3)

Здесь - дуги, получающиеся при каком-либо разбиении кривой на части, причем начало дуги совпадает с началом кривой , начало дуги - с концом дуги и конец дуги - с концом кривой .

3) (4.3.4)

Здесь - функции, определенные и непрерывные на , а - комплексные постоянные.

4) Если - кусочно-гладкая кривая, то

(4.3.5)

5) , (4.3.6)

где - длина кривой . Чтобы получить это неравенство, достаточно заметить, что

и перейти к пределу.

Все перечисленные свойства являются точными аналогами соответствующих свойств интегралов от действительных функций.

Однако необходимо отметить, что одно из свойств определенных интегралов от действительных непрерывных функций (так называется первая теорема о среднем значении) не имеет места для определенных интегралов от комплексных непрерывных функций даже в том случае, если ограничиться интегрированием вдоль отрезка действительной оси.

3. Формула Римана-Грина. Как известно, формула Грина

(4.3.7)

где - внутренность замкнутой жордановой кривой , выводится обычно при следующих предположениях:

а) любая прямая, параллельная координатной оси, пересекает не более, чем в двух точках (исключения допускаются только для двух крайних положений в направлении каждой оси, где возможно пересечение по прямолинейному отрезку);

б) функции непрерывны в замкнутой области .

В формуле (4.3.7) криволинейный интеграл берется в положительном направлении, то есть в направлении против часовой стрелки.

Имеет место

Утверждение. Пусть - внутренность замкнутой жордановой кусочно-гладкой кривой и пусть действительная и мнимая части и функции непрерывны и обладают в замкнутой области непрерывными частными производными первого порядка. Тогда

(4.3.8)

Действительно, в силу формулы (4.2.2),(4.3.1) и (4.3.7) имеем

(4.3.9)

Формулу (4.3.8) называют формулой Римана-Грина.