3 . Задачи и упражнения

Задачи

для самостоятельной работы

и работы в аудитории

1. Найдите вторую квадратичную форму поверхности:

1)

2) .

2. Найдите нормальную кривизну:

а) плоскости в произвольном направлении касательной плоскости;

б) сферы в произвольном направлении касательной плоскости;

в) цилиндра в направлении касательной плоскости, параллельном образующей;

г) цилиндра в направлении касательной плоскости, перпендикулярном образующей;

д) цилиндра в произвольном направлении касательной плоскости.

3. Докажите, что при любом выборе криволинейных координат на плоскости вторая квадратичная форма тождественно равна нулю.

4. Докажите, что поверхность является частью плоскости, если ее вторая квадратичная форма равна нулю.

5. Докажите, что индикатриса Дюпена является либо эллипсом, либо парой параллельных прямых, либо парой сопряженных гипербол.

6. Найдите главные кривизны: а) плоскости;

б) сферы;

в) цилиндра.

7. Докажите, что если в точке поверхности существует ровно два главных направления, то они перпендикулярны.

8. Найдите главные кривизны поверхности:

=0.

9. Найдите гауссову и эйлерову кривизны: а) плоскости; б) цилиндра; в) сферы.

10. Докажите, что для поверхности имеет место формула

11. Найдите главные направления и главные кривизны прямого геликоида

12. Вычислите главные кривизны поверхности в точке

13. Вычислите главные кривизны поверхности

в точке

14. Найдите полную и среднюю кривизну прямого геликоида

На каких линиях полная кривизна постоянна?

15. Найдите кривизны нормальных сечений поверхности

а) в произвольной точке; б) в точках линий, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, ; в направлениях, идущих по касательным к этим линиям; в) в точке в направлении касательной к линии

16. На поверхности дана точка

а) Вычислите главные кривизны поверхности в точке Р.

б) Найдите уравнения касательных к главным нормальным сечениям в указанной точке.

в) Вычислите кривизну нормального сечения в точке Р, проходящего через касательную к линии

17. Найдите полную и среднюю кривизну прямого геликоида

На каких линиях полная кривизна постоянна?

18. Дана поверхность

а) Найдите в начале координат уравнение индикатрисы Дюпена.

б) Вычислите в начале координат радиус кривизны нормального сечения, касательная к которому составляет угол с осью Ох.

19. Найдите полную и среднюю кривизну поверхности вращения , где

20. Покажите, что координатные линии поверхности

являются линиями кривизны.

21. Исследуйте характер точек на следующих поверхностях второго порядка:

1) Эллипсоид;

2) Однополостный гиперболоид;

3) Двуполостный гиперболоид;

4) Эллиптический параболоид;

5) Гиперболический параболоид;

6) Эллиптический цилиндр;

7) Параболический цилиндр;

8) Гиперболический цилиндр;

9) Конус без вершины.

22. Найдите линии кривизны следующих поверхостей:

1) Произвольной цилиндрической поверхности;

2) Произвольной конической поверхности;

3) Произвольной поверхности вращения;

4) Поверхности

5) Произвольной развертывающейся поверхности;

6) Прямого геликоида;

7) Эллиптического параболоида.