3. Задачи и упражнения

Задачи

для самостоятельной работы

и работы в аудитории

1. Найдите первую квадратичную форму поверхности:

a)

б) ;

в)

г)

д)

е)

2. Докажите, что координатные линии на поверхности вращения ортогональны.

3. Найдите: а) периметр; б) площадь; в) углы криволинейного четырехугольника на поверхности ограниченного линиями

4. Покажите, что у треугольника на сфере, составленного из дуг больших окружностей, сумма углов больше .

5. Докажите, что при соответствующем выборе криволинейных координат на поверхности вращения ее первая квадратичная форма может быть приведена к виду .

6. Найти на сфере линии, пересекающие меридианы под постоянным углом (локсодромы).

7. Докажите, что для регулярной поверхности первая квадратичная форма является положительно определенной.

8. Докажите, что координатные линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

9. Покажите, что существует изометричное отображение геликоида

на катеноид , при котором прямолинейным образующим геликоида соответствуют меридианы катеноида.

10. Докажите, что площадь сферы равна .

11. На круговом конусе рассматривается семейство линий , где - параметр. Найдите семейство их ортогональных траекторий.

12. Запишите уравнения косого геликоида приняв линии и их ортогональные траектории за координатные линии.

13. Дана поверхность

а) Найдите первую квадратичную форму.

б) Вычислите дифференциал длины дуги для линий

в) Вычислите длину дуги линии между точками ее пересечения с линиями

14. Найдите ортогональные траектории семейства линий , лежащих на косом геликоиде

15. Найдите, под каким углом пересекаются линии на прямом геликоиде

16. Найдите периметр и внутренние углы криволинейного треугольника расположенного на поверхности у которой

17. Найдите угол между линиями и на поверхности

18. На поверхности с первой квадратичной формой

найдите длину дуги линии между точками и

19. Найдите угол между линиями и на поверхности, имеющей первую квадратичную форму

20. Найдите площадь криволинейного треугольника расположенного на поверхности с первой квадратичной формой

21. На псевдосфере

заданы два семейства линий

Вычислите длину дуги линии каждого семейства между двумя точками и .

Докажите, что длины дуг всех линий одного семейства между двумя фиксированными линиями второго семейства одинаковы.

22. Найдите площадь четырехугольника на прямом геликоиде ограниченного линиями

ІV - V. ИСКРИВЛЕННОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ