Предисловие

Уважаемый студент! Вы получили РАБОЧУЮ ТЕТРАДЬ курса «Дифференциальная геометрия», в которой рассматривается «Теория поверхностей». С этой тетрадью Вы будете работать на практических занятиях в аудитории и дома, выполняя самостоятельную работу и готовясь к аудиторным занятиям. Она будет Вашим надежным помощником в усвоении нового материала, его закреплении и систематизации, а также при подготовке к выполнению контрольных, модульных и индивидуальных работ и сдачи экзамена.

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ содержит 7 практических занятий, каждое из которых состоит из трех разделов:

1. Составляем опорный конспект. (В этом разделе необходимо заполнить пропуски, пользуясь лекционным материалом и рекомендуемой литературой)

2. Контрольные вопросы. (В этом разделе необходимо записать ответы на вопросы в имеющиеся пропуски)

3. Задачи и упражнения. (В этом разделе необходимо решать задачи и выполнять

упражнения в аудитории и самостоятельно)

Целью курса «Дифференциальной геометрии» раздела «Теория поверхностей» является изучение поверхностей с помощью исследования их локальных свойств и классификация поверхностей на основе инвариантов.

Студент должен знать: способы задания поверхностей, теорему о представлении поверхности в окрестности обыкновенной точки, основную теорему теории поверхностей (т. Бонне), первую и вторую квадратичные формы на поверхности, определение нормальной и геодезической кривизны в данной точке поверхности, теоремы о геодезических, теоремы об изометричных поверхностях, свойства поверхностей с постоянной полной кривизной.

Студенты должны уметь: задавать поверхность неявно и параметрически, вычислять первую и вторую квадратичные формы поверхности, находить нормальную и геодезические кривизны кривой на поверхности, определять главные направления и главные кривизны поверхности, проводить классификацию типов точек на поверхности вычислять геодезические линии на поверхности, проводить классификацию поверхностей, на основе инвариантов, исследовать свойства изометричности поверхностей, строить поверхность локально.

П роверяем готовность к изучению темы

Теория поверхностей составляет костяк классической дифференциальной геометрии и является основой для построения современных теорий.

Далее приводятся вопросы, позволяющие проконтролировать готовность студентов к изучению геометрии поверхности.

Контрольный тест

1. Всякая ли регулярная кривая имеет касательную?

2. Изменяется ли выражение при замене параметра?

3. Может ли угол между векторами равняться 230°?

4. Может ли кусок плоскости быть равен куску сферы?

5. Верно ли, что ранг матрицы равен 1?

6. Применима ли теорема о неявной функции к функции

в точке (0,1)?

7. Является ли выражение квадратичной формой от двух переменных?

8. Верно ли, что квадратичная форма является положительно определенной квадратичной формой от двух переменных?

9. Можно ли «произведение векторов» назвать скалярным произведением векторов?

10. Имеет ли матрица вещественные собственные значения?

11. Верно ли, что якобиан отображения не обращается в нуль в круге ?

12. Является ли кривая кривой второго порядка?

І. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ