11.10. Множественная корреляция

Наряду с анализом связей между двумя рядами данных можно проводить анализ многомерных корреляционных связей. Наиболее простым случаем нахождения подобной зависимости является вычисление коэффициентов множественной корреляции между тремя переменными X, Y и Z. В соответствии с числом переменных вычисляются три коэффициента множественной корреляции. Собственно говоря, коэффициент множественной корреляции оценивает тесноту линейной связи одной переменной, например X, с двумя остальными, Y и Z, и обозначается как г. При оценке тесноты линейной связи переменной Y с переменными X и Z, коэффициент множественной корреляции обозначается как r_x(yz).

Вычисление коэффициентов множественной корреляции базируется на коэффициентах линейной корреляции между переменными X и Y — r_ху, X и Z — r_xz, Y и Z — r_yz. Для вычисления одного из коэффициентов множественной корреляции, например r_х(уz), используется следующая формула:

где r_ху,, r_xz, r_уг — коэффициенты линейной корреляции между парами переменных X и Y, X и Z, Y и Z.

Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1. Значимость этого коэффициента оценивают по величине t-критерия Стьюдента с числом степеней свободы k = п - 3.

Собственно говоря, формулы для вычисления коэффициентов r_y(xz): и r_z(xy) аналогичны формуле (11.20) и получаются из нее перестановкой индексов.

Формула для вычисления коэффициента r_y(xz):

Формула для вычисления коэффициента r_z(xy):

Задача 11.9. 10 менеджеров оценивались по методике экспертных оценок психологических характеристик личности руководителя (см. Психологические тесты. Т. 2. Под. ред. А.А. Карелина. М. Владос. 1999. Стр. 99). 15 экспертов производили оценку каждой психологической характеристики по пятибальной системе. Психолога интересуют три вопроса: в какой степени тактичность (переменная X) одновременно связана с требовательностью (переменная Y) и критичностью (переменная Z); в какой степени требовательность одновременно связана с тактичностью и критичностью; и, наконец, в какой степени критичность одновременно связана с тактичностью и требовательностью?

Решение. Результаты исследования сразу представим в виде таблицы 11.12, в которой произведем некоторые нужные вычисления.

Таблица 11.12

Испы­туе­мые п/п	Так­тич­ность X	Требо­ватель­ность Y	Кри­тич­ность Z	Х- X	Y-Y	ZZ	Х-Y	Y-Z	X Z
1	70	18	36	4900	324	1296	1260	648	2520
2	60	17	29	3600	289	841	1020	439	1740
3	70	22	40	4900	484	1600	1540	880	2800
4	46	10	12	2116	100	144	460	120	552
5	58	16	31	3364	256	961	928	496	1798
6	69	18	32	4761	324	1024	1224	576	2208
7	32	9	13	1024	81	169	288	117	416
8	62	18	35	3844	324	1225	1116	630	2170
9	46	15	30	2116	225	900	690	450	1380
10	62	22	36	3844	484	1296	1364	792	2232
Сумма	575	165	294	34469	2891	9456	9908	5202	17816

Для подсчета необходимых коэффициентов множественной корреляции используем следующие выражения:

Отсюда:

Далее:

Тогда коэффициенты Пирсона таковы:

Для вычисления r_x(yz) подставляем полученные величины в формулу (11.20), получаем:

Для вычисления r_y(xz) подставляем полученные величины в формулу (11.21), получаем:

Для вычисления r_z(xy) подставляем полученные величины в формулу (11.22), получаем:

Поскольку из трех коэффицентов, первый r_x(yz) оказалея наименьшим по абсолютной величине, то проверим значимость только этого коэффициента по хорошо знакомой нам формуле (11.9) при k = п - 3:

По таблице 16 Приложения 1 для t-критерия Стьюдента при k= 10-3 = 7 находим, что

Строим соответствующую «ось значимости»:

Полученный коэффициент множественной корреляции попал в зону значимости. Следовательно, необходимо принять гипотезу Я, об отличии полученного коэффициента от нуля. Очевидно также, что остальные коэффициенты множественной корреляции также окажутся в зоне значимости. Поэтому возможна следующая интерпретация полученного результата — все три оцениваемых качества оказывают существенное влияние друг на друга, иными словами, такие качества личности менеджера, как критичность, тактичность и требовательность, выступают единым комплексом и в очень большой степени необходимы для успешности его профессиональной работы.

Для применения множественного коэффициента корреляции необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в шкале интервалов или отношений.

2. Предполагается, что все переменные имеют нормальный закон распределения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть одинаковым.

4. Для оценки уровня достоверности корреляционного отношения Пирсона следует пользоваться формулой (11.9) и таблицей критических значений для t-критерия Стьюдента при k = п - 3.