11.5.1. Второй способ вычисления коэффициента «φ»

Коэффициент «φ» можно вычислить, не применяя метод кодирования. В этом случае используется так называемая четырехпольная таблица, или таблица сопряженности. Каждую клетку таблицы обозначим соответствующими буквами a, b, с и d. Используя эту таблицу, решим задачу 11.5, приведенную в предыдущем разделе. Представим данные этой задачи в виде таблицы 11.7.

Таблица 11.7

Значение признаков	Семейное положение		Сумма
	Холостые	Женатые
Плохо учится	а = 2	b = 4	6
Учится хорошо	с = 5	d = 1	6
Сумма	7	5	12

В каждой клетке таблицы 11.7 приведено число студентов, обладающих сразу двумя характеристиками. Например в верхней левой клетке, имеющей обозначение а, указано общее число студентов, которые одновременно являются холостыми и имеют плохую успеваемость. Подобных студентов было обнаружено 2 человека. Таким же способом заполняют все клетки таблицы.

Приведем общую формулу расчета коэффициента «φ» по таблице сопряженности:

Подставляем данные таблицы 11.7 в формулу 11.11, получаем:

Значение φ_эмп, как этого следовало ожидать, получилось то же самое, что и в предыдущем случае. Поскольку мы уже оценили уровень значимости, второй раз этого делать не стоит.

Для применения коэффициента корреляции «φ» необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые признаки должны быть измерены в дихотомической шкале.

2. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

3. Для оценки уровня достоверности коэффициента «φ» следуетпользоваться формулой (11.9) и таблицей критических значений для t-критерия Стьюдента при k = п - 2.

11.6. Коэффициент корреляции «τ» Кендалла

Коэффициент корреляции «τ» (тау) Кендалла относится к числу непараметрических, т.е. при вычислении этого коэффициента не играет роли характер распределения сравниваемых переменных. Коэффициент «τ» предназначен для работы с данными, полученными в ранговой шкале. Иногда этот коэффициент можно использовать вместо коэффициента корреляции Спирмена, поскольку способ его вычисления более прост. Он основан на вычислении суммы инверсий и совпадений.

Решим следующую задачу, применяя коэффициент «τ».

3адача 11.6 Психолог просит супругов проранжировать семь личностных черт, имеющих определяющее значение для семейного благополучия. Задача заключается в том, чтобы определить, в какой степени совпадают оценки супругов по отношению к ранжируемым качествам.

Данные задачи и необходимые для вычислений коэффициента Кендалла столбцы представим сразу в виде таблицы 11.8:

Таблица 11.8

Черты личности	Муж	Жена	Совпадения	Инверсии
Ответственность	7	1
Общительность	1	5
Сдержанность	3	7
Выносливость	2	6
Жизнерадостность	5	4
Терпеливость	4	3
Решительность	6	2
Сумма

Для подсчета коэффициента корреляции «τ» (тау) необходимо упорядочить второй столбец (оценки мужа) таблицы 11.8 по возрастанию рангов, в нашем случае от 1 до 7. Соответственно этому поменяются местами как сами черты, так и соответствующие ранги третьего ряда. Оформим эти преобразования в новую таблицу 11.9:

Таблица 11.9

№ 1	№ 2	№ 3	№4	№ 5
Черты личности	Муж	Жена	Совпадения	Инверсии
Общительность	1	5	2	4
Выносливость	2	6	1	4
Сдержанность	3	7	0	4
Терпеливость	4	3	1	2
Жизнерадостность	5	4	0	2
Отзывчивость	6	2	0	1
Ответственность	7	1	0	0
Сумма			4	17

Посмотрим, как следует заполнять последние два столбца таблицы 11.9. Теперь для работы нам нужен только столбец с рангами, проставленными женой. На его основе заполним последние два столбца таблицы 11.9, подсчитав, сначала число совпадений.

Подсчет совпадений происходит следующим образом: берем самое верхнее число третьего столбца — 5. Подсчитываем сколько всего чисел больших 5 встречаются ниже в этом же столбце. Находим их — это 6 и 7. Их всего два. Двойку ставим напротив числа 5 в колонке «Совпадения». Берем затем следующее число 6 — ниже по столбцу и больше его, также ниже по столбцу, встречается только одно число 7. Ставим напротив 6 в столбце «Совпадения» — 1. Берем следующее число 7 — больше по величине не может встретиться ни одно число, поскольку 7 это максимальный ранг. Ставим напротив 7 в столбце «Совпадения» — 0. И так далее.

Для определения количества инверсий опять берем самое верхнее число третьего столбца — 5. Подсчитываем, сколько всего чисел встречаются ниже по столбцу, меньших, чем 5. Это числа 4, 3, 2 и 1. Их 4. Ставим напротив числа 5 в столбце «Инверсия» число 4. Берем следующее число 6 — ниже по столбцу и меньше, чем 6, встречаются те же числа, что и для 5. Ставим напротив 6 в столбце «Инверсия» число — 4. То же верно и для числа 7. Меньше числа 3 ниже по столбцу встречаются числа 2 и 1. Ставим напротив 3 в столбце «Инверсия» число — 2. И так далее.

Число совпадений обозначается буквой Р, а число инверсий буквой Q. Для проверки правильности подсчета числа инверсий и совпадений используется следующая формула:

Где Р — число совпадений,

Q — число инверсий,

N-— число ранжируемых признаков (черт).

Подставляем в формулу (11.12) полученные в нашем случае величины, получаем:

Следовательно, подсчет числа инверсий и совпадений был произведен правильно.

Подсчет коэффициента Кендалла может осуществляться по трем тождественным формулам. Первая формула:

В двух других формулах используются либо Р, либо Q:

Проведем подсчет коэффициента корреляции по всем трем формулам:

Проверим уровень значимости коэффициента корреляции по формуле (11.9):

Число степеней свободы в нашем случае будет k = п - 2 = = 7 - 2 = 5. По таблице 16 Приложения 1 для к - 5 находим критические значения критерия Стьюдента, они равны соответ­ственно для Р≤ 0,05 t_кр = 2,57 и для P ≤ 0,01 t_кр = 4,03. В, принятой форме записи это выглядит так:

Строим «ось значимости»:

Значение величины Тф попало в зону незначимости. В терминах статистических гипотез гипотеза Н₁ отклоняется и принимается гипотеза Н_о о том, что коэффициент корреляции «τ» Кендалла достоверно не отличается от нуля. Иными словами, согласованности между мужем и женой в оценке значимых для семейного благополучия личностных черт нет.

Для применения коэффициента корреляции «τ» Кендалла необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые признаки должны быть измерены в порядковой шкале.

2. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

2. Величина «τ» Кендалла независима от закона распределения величин X и Y.

3. При расчетах этого коэффициента не допускается использование одинаковых рангов.

4. Для оценки уровня достоверности коэффициента «τ» следует пользоваться формулой (11.9) и таблицей критических значений для -критерия Стьюдента при k = п - 2.