8.1.3. Использование критерия хи-квадрат для сравнения показателей внутри одной выборки

Критерий хи-квадрат может быть применен и для выявления сходства или различия внутри одной, но численно достаточно большой выборки. В этом случае вычленяются показатели (а их может быть два и больше), по которым и осуществляется сравнение. Этот аспект применения критерия хи-квадрат сближает его с коэффициентом корреляции, который также находит степень связи между двумя или большим числом признаков. Различие между этими двумя методами, прежде всего в том, что для подсчета коэффициента корреляции необходимо знать все величины сравниваемых признаков, а для использования критерия хи-квадрат важно знать только уровни (градации) сравниваемых признаков.

При сравнении показателей с помощью критерия хи-квадрат нулевая гипотеза Н_о звучит так: сравниваемые признаки не влияют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: между признаками связи нет, корреляция не отличается от нуля.

Соответственно альтернативная гипотеза Н₁ звучит следующим образом: сравниваемые признаки влияют друг на друга. В терминах корреляционных отношений: между признаками связь есть, корреляция значимо отличается от нуля.

В этих случаях применение критерия хи-квадрат основывается на использовании так называемых многопольных таблиц или, как их еще называют, таблиц сопряженности, т.е. таких таблиц, эмпирические данные в которых представлены размерностью большей, чем 2x2.

В этом случае расчет эмпирического значения критерия хи-квадрат может осуществляться по следующим двум формулам:

где d_i разность между эмпирическими и «теоретическими» частотами;

f_mi есть вычисленная, или «теоретическая» частота.

где k — число строк многопольной таблицы

m — число столбцов многопольной таблицы

N — общее число значений (элементов) в многопольной таблице, оно всегда является произведением N= k ∙ m

С_ij. — элементы многопольной таблицы

С_i. — суммарные значения по строкам многопольной таблицы

С_j — суммарные значения по столбцам многопольной таблицы

Проиллюстрируем все вышесказанное решением примера, взятого с некоторыми модификациями из учебного пособия «Психологическая диагностика» под ред. К.М. Гуревича и М.К. Акимовой. М. Изд-во УРАО, 1997г.

Задача 8.11. Влияет ли уровень интеллекта на профессиональные достижения?

Решение. (Первый способ решения по формуле 8.10). Для решения этой задачи 90 человек оценили по степени их профессиональных достижений и по уровню интеллекта. При разбиении на уровни (градации признака) по обоим признакам было взято три уровня. Для показателя профессиональных достижений были получены следующие частоты признака: 20 человек с высоким уровнем профессиональных достижений, 40 со средним и 30 с низким. Первая группа составляет 22,2% выборки, вторая — 44,4% и третья — 33,3% от всей выборки. При разбиении по уровню интеллекта было взято три равных по численности группы, в каждой по 30 человек: уровень интеллекта ниже среднего, средний и выше среднего. В процентах каждая группа составляет 33,3% от всей выборки. Все эмпирические данные (частоты) представлены ниже в таблице 8.14:

Таблица 8.14

IQ	Оценка профессиональных достижений			Всего
	Ниже среднего	Средняя	Выше среднего
Ниже среднего	20 А (10)	5 В (13,3)	5 С (6,7)	30
Средний	5 D (10)	15 E (13,3)	10 F (6,7)	30
Выше среднего	5 G (10)	20 H (13,3)	5 J (6,7)	30
Итого	30	40	20	90

Для удобства каждая ячейка таблицы обозначена соответствующей латинской буквой: А, В, С и т.д. Таблица 8.14 устроена следующим образом: в ячейку, обозначенную символом А, заносятся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают следующей характеристикой: ниже среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось 20. В ячейку, обозначаемую символом В, заносятся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: средние по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось 5. В ячейку, обозначенную символом С, заносятся эмпирические частоты (или число) тех испытуемых, которые одновременно обладают характеристикой: выше среднего по уровню профессиональных достижений и ниже среднего по интеллекту. Таких испытуемых (эмпирических частот) оказалось также 5. Заметим, что 20 + 5 + + 5 = 30, т.е. числу испытуемых, имеющих уровень интеллекта ниже среднего. Подобные «разбиения» были проделаны для каждой ячейки таблицы 8.14. Подчеркнем, что в круглых скобках в каждой ячейке таблицы представлены вычисленные для этой ячейки «теоретические» частоты.

Покажем, как для каждой ячейки таблицы 8.14 найти соответствующую «теоретическую» частоту. Это делается следующим образом. Для каждого столбца таблицы подсчитываются так называемые «частости» в процентах:

Полученные величины «частостей» дают возможность подсчитать «теоретические» частоты для каждой ячейки таблицы 8.14. Они служат основой для подсчета «гипотетических» (а по сути теоретических) частот, т.е. таких частот, которые при заданном соотношении экспериментальных данных должны были бы быть расположены в соответствующих ячйках таблицы 8.14. (Вспомним решение задачи 8.5).

Согласно этому положению «теоретическая» частота для ячейки А подсчетывается следующим образом. 30 человек имеют уровень интеллекта ниже среднего, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями ниже среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так: 30 ∙ 33,3%/ 100 = 9,99 = 10.

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки D считается следующим образом: 30 человек имеют средний уровень интеллекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так:

30 ∙ 33,3%/ 100 = 9,99 = 10.

Аналогично «теоретическая» частота для ячейки G считается следующим образом: 30 человек имеют высокий уровень интеллекта, поэтому 33,3% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями выше среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так: 30 ∙ 33,3%/ 100 = 9,99 = 10.

Рассмотрим, как производится подсчет для ячейки В. 30 человек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 44,4% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так: 30∙-44,4%./100% = 13,3.

Аналогично производится подсчет для ячейки Е. 30 человек имеют средний уровень интеллекта, поэтому 44,4% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так: 30∙-44,4%./100% = 13,3.

Аналогично производится подсчет для ячейки Н. 30 человек имеют уровень интеллекта выше среднего, поэтому 44,4% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так: 30∙-44,4%./100% = 13,3.

Рассмотрим, наконец, как производится подсчет для ячейки С 30 человек имеют низкий уровень интеллекта, поэтому 22,2% от этого числа должны были бы попасть в группу с профессиональными достижениями выше среднего уровня. Находим эту «гипотетическую» величину так: 30∙-22,2%./100% = 6,7.

Расчет «теоретических гипотетических» частот для оставшихся ячеек проведите самостоятельно.

Проверим правильность расчета «теоретических» частот для всех столбцов таблицы 8.14: 10 + 10 + 10 = 30; 13,3 + 13,3 + 13,3 = = 39,9 = 40; 6,7 + 6,7 + 6,7 = 20,1 = 20.

Теперь все готово для использования формулы (8.1).

Для проверки правильности расчета «теоретических» частот в случае сравнения двух эмпирических наблюдений (см. раздел 8.2) или для сравнения показателей внутри одной выборки может использоваться следующая формула (8.12):

Проверим по этой формуле правильность наших расчетов:

Число степеней свободы подсчитаем по знакомой формуле:

ν = (k - 1) ∙ (с - 1) = (3 - 1) • (3 - 1) - 4 где k число строк, а с-число столбцов и в соответствии с таблицей 12 Приложения 1 находим:

Строим «ось значимости»:

Полученные эмпирическая величина критерия хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу H₁ о том, что уровень интеллекта влияет на успешность профессиональной деятельности.

Решение. (Второй способ решения по формуле 8.11). Подставим данные таблицы 8.14 в формулу (8.11) получим:

Как и следовало ожидать, эмпирическое значение хи-квадрат получено то же самое, что и при первом способе решения. Все дальнейшие операции уже проделаны выше при первом способе решения данной задачи, поэтому не будем их повторять. Безусловно, что второй способ существенно проще первого, однако, при расчетах по формуле (8.11) можно легко допустить ошибки. Подчеркнем, что как первый, так и второй способы расчета эмпирического значения хи-квадрат позволяют работать с таблицами практически любой размерности: 3 х 4, 4 х 4, 5 х 3, 5 х 6 и т.п.

Для применения критерия хи-квадрат необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в любой шкале.

2. Выборки должны быть случайными и независимыми.

3. Желательно, чтобы объем выборки был > 20. С увеличением объема выборки точность критерия повышается.

4. Теоретическая частота для каждого выборочного интервала не должна быть меньше 5.

5. Сумма наблюдений по всем интервалам должна быть равна общему количеству наблюдений.

6. Таблица критических значений критерия хи-квадрат рассчитана для числа степеней свободы ν, которое каждый раз рассчитывается по определенным правилам.

В общем случае число степеней свободы определяется по формуле: ν = с - 1, где с — число альтернатив (признаков, значений, элементов) в сравниваемых переменных. Для таблиц число степеней свободы определяется по формуле:

ν = (k - 1) ∙ (с - 1), где k — число столбцов, c — число строк.