6.2.4. Критерий Пейджа

Критерий Пейджа (его полное название L критерий тенденций Пейджа) можно рассматривать как эквивалент критерия Фридмана для сопоставления показателей измеренных в трех и более условиях на одной и той же выборке испытуемых. Однако этот критерий не только позволяет выявить различия, но указывает на направление в изменении величин признака. Именно поэтому он является более предпочтительным.

Так, например, критерий Пейджа позволяет проверить предположения о временной или ситуативно обусловленной динамике изменения каких-либо признаков. К сожалению, применение этого достаточно мощного критерия ограничено объемом выборки — число испытуемых не может быть больше 12 и числом измерений признака — оно не может быть больше 6.

Задача 6.6. Решим еще раз задачу 6.5, но уже помощью критерия Пейджа, используя уже готовую таблицу 6.10. При этом основной тенденцией данного примера будем считать увеличение времени решения второго и четвертого заданий по сравнению с первым и третьим заданиями.

Решение. Подчеркнем, что первые несколько операций аналогичны операциям критерия Фридмана. Поэтому их описание мы опускаем и отсылаем к предыдущему критерию.

Дальнейшая работа с критерием Пейджа заключается в преобразовании таблицы 6.10. Следует попарно переставить столбцы таблицы 6.10, ориентируясь на величины сумм рангов так, чтобы в начале таблицы стояли столбцы с наименьшей суммой рангов, а в конце таблицы — с наибольшей. Понятно, что столбцы с соответствующими измерениями также переставляются. После проведения необходимых перестановок получается таблица 6.11.

Таблица 6.11

№ 1	№ 2	№3	№4	№ 5	№6	№7	№ 8	№ 9
№ испы- туе- мых п/п	Время реше- ния первого задания теста в сек	Ранги вре- мени реше- ния первого задания теста	Время решения третьего задания теста в сек.	Ранги времени решения третьего задания теста	Время решения четверто- го задания теста в сек.	Ранги времени решения четверто- го задания теста	Время решения второго задания теста в сек.	Ранги времени решения второго задания теста
1	8	3	5	2	12	4	3	1
2	4	1	12	2	13	3	15	4
3	6	1	15	2	20	3	23	4
4	3	1	6	2,5	12	4	6	2,5
5	7	2	3	1	8	3	12	4
6	15	3	12	2	7	1	24	4
Сумма рангов		11		11,5		18		19,5

Теперь все готово для подсчета эмпирического значения L_эмп критерия Пейджа. Оно определяется по формуле:

где R_i. — сумма рангов i -того столбца в упорядоченной таблице

i— порядковый номер столбца, получившийся в новой таблице, упорядоченной по сумме рангов.

с — число измерений.

Используя формулу (6.2) вычисляем эмпирическое значение L_эмп для нашего примера:

L_эмп = (11 • 1) + (11,5 • 2) + (18 • 3) + (19,5 ∙ 4) = 166

По таблице 5 Приложения определяем критические значения L_эмп для числа испытуемых п = 6 и для числа измерений с = 4. Отметим, что в таблице критических значений критерия Пейджа добавлен уровень значимости 0,001 или 0,1%. Представим соответствующий блок таблицы 5 Приложения в виде таблицы 6.12.

Таблица 6.12

№ — число испытуемых	С — количество измерений 4	Р — уровень значимости Р
6	172	0,001
	167	0,01
	163	0,05

Используя привычную форму записи для критических величин, получаем следующее выражение:

Строим «ось значимости»:

В нашем примере значение L_эмп попало в зону неопределенности, следовательно, можно считать, что тенденция увеличения времени решения заданий теста №№ 2 и 4 по сравнению с заданиями №№ 1 и 3 оказалась значимой на уровне 5%.

Переформулируем полученный результат в терминах нулевой и альтернативной гипотез: поскольку между показателями, измеренными при решении четырех заданий теста, существуют не случайные различия на 5% уровне значимости, то нулевая гипотеза Н_о, т.е. гипотеза о сходстве отвергается, и принимается альтернативная гипотеза Н₁ о наличии различий.

Сравнивая выводы, полученные при решении задачи 5 с помощью критериев Фридмана и Пейджа, можно подумать, что они не согласуются друг с другом. Однако это не совсем так. Эти критерии обращаются к разным сторонам анализируемого материала, характеризуя различные аспекты обрабатываемых данных. Если первый критерий — Фридмана — выявляет наличие различий в измеренных показателях (признаках), то критерий Пейджа позволяет выявить тенденцию в изменениях величин измеряемых признаков.

Приведем еще один пример использования критерия Пейджа.

Задача 6.7. Психолог высказывает предположение о наличии следующей тенденции: время решения заданий теста будет возрастать по мере увеличения их сложности.

Решение. Для выявления этой тенденции психолог сравнивает время решения пяти заданий теста у тех же шести испытуемых. Поскольку начальные операции с данными представлены выше, то результаты обработки по критерию Пейджа сразу представим в виде таблицы 6.13.

Как всегда необходимо проверить правильность ранжирования. Общая сумма рангов составила: 11 + 22 + 11,5 + 19 + 26,5 = 90

Согласно формуле (1.3): она должна быть

Таблица 6.13

№ испы- туе- мых п/п	Время реше- пер- вого зада- ния теста в сек.	Ранги вре­мени реше- ния пер- вого зада- ния теста	Время реше- ния второ- го за- дания теста в сек.	Ранги вре- мени реше- ния второ- го за- дания теста	Вреп.>. реше- ния тре- тьего зада- ния теста в сек.	Ранги вре­мени реше- ния тре- тьего зада- ния теста	Время реше­ния чет- верто- го зада- ния теста в сек.	Ранги вре­мени реше- ния чет- верто- го за- дания теста	Время реше- ния пято го за- дания в сек.	Ранги вре- мени реше- ния пятого зада- ния теста
1	8	3	3	1	5	2	12	4	24	5
2	4	1	15	4	12	2	13	3	35	5
3	6	1	23	5	15	2	20	4	18	3
4	3	1	6	2,5	6	2,5	12	4	43	5
5	7	2	12	4,5	3	1	8	3	12	4,5
6	15	3	24	5	12	2	7	1	22	4
Сумма рангов		11		22		11,5		18		26,5

Сравнив результаты первого и второго подсчета рангов, делаем вывод о том, что ранжирование произведено правильно.

Теперь, чтобы подсчитать L_эмп по формуле (6.2), не будем строить новую таблицу, а применим второй способ вычислений. Для этого рассмотрим сумму рангов как обычный ряд чисел и проранжируем этот ряд. Причем каждой величине этого нового, упорядоченного ряда поставим в соответствие его ранг. Этот ранг в формуле (6.2) обозначен как индекс L. Поэтому получатся следующие соответствия:

11→ i = 1; 11,5 → i = 2; 19→ i = 3; 22→= 4; 26,5 →i = 5

Теперь, имея суммы рангов и соответствующие им индексы, можно применить формулу (6.2):

L_змп = (11 • 1) + (11,5 • 2) + (19 • 3) + (22 • 4) + (26,5•5) = 311,5

Следующим этапом, как всегда, является нахождение критических величин для соответствующего числа испытуемых и измерений.

По таблице 5 Приложения находим для п = 6 и с = 5:

Строим соответственно «ось значимости»:

Полученная величина L_эмп критерия тенденций Пейджа оказалась значимой на 0,1% уровне. Следовательно, по мере увеличения сложности заданий, увеличивается и время их решения.

В терминах статистических гипотез полученный результат таков: Н_о — нулевая гипотеза о сходстве должна быть отвергнута, а на уровне 0,1% следует принять альтернативную гипотезу Н₁ о наличии различий. Иными словами, тенденция увеличения времени решения заданий теста с увеличением их сложности не является случайной.

Для применения критерия Пейджа необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в ранговой, интервальной и в шкале отношений.

2. Выборка должна быть связной.

3. В выборке должно быть не менее двух и не больше 12 испытуемых, каждый из которых имеет не менее трех измеренных показателей.

4. Применение критерия ограничено, так как таблицы критических значений рассчитаны на небольшую выборку (n ≤ 12) и маленькое число измерений (не больше 6). Если эти ограничения не выполняются, приходится использовать критерий Фридмана.