6.2.3. Критерий Фридмана

Критерий Фридмана можно рассматривать как распространение критерия Т — Вилкоксона на три и большее количество измерений связной выборки испытуемых. Критерий позволяет установить уровень статистической достоверности различий сразу в нескольких измерениях (от 3 до 100), но не дает возможности выявить направление изменений. При наличии сразу нескольких измерений преимущество критерия Фридмана по сравнению с двумя предыдущими критериями очевидно, поскольку оба эти критерия работают только с двумя столбцами чисел. Предположим, что с помощью критерия знаков нам нужно было бы сравнить четыре столбца чисел. Тогда критерий знаков пришлось бы использовать шесть раз — сравнение первого столбца со вторым, третьим и четвертым, второго — с третьим и четвертым и третьего с четвертым. Критерий Фридмана позволяет выявить наличие значимых различий в измерениях за один раз.

Задача 6.4. Шести школьникам предъявляют тест Равена. Фиксируется время решения каждого задания. Выясняется вопрос — будут ли найдены статистически значимые различия между временем решения первых трех заданий теста?

Решение. Итак, психолог измерил время решения первых трех заданий теста у шести испытуемых.

Результаты этих измерений приведены в таблице:

Таблица 6.7

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4
№ испытуемых п/п	Время решения первого задания теста в сек.	Время решения второго задания теста в сек.	Время решения третьего задания теста в сек.
1	8	3	5
2	4	15	12
3	6	23	15
4	3	6	6
5	7	12	3
6	15	24	12

Для нахождения различий можно было бы воспользоваться двумя предыдущими критериями, но тогда нужно было бы сравнивать между собой данные второго столбца с третьем и четвертым, а также данные третьего столбца с четвертым, т.е. выполнить три однотипных операции. Критерий Фридмана позволяет сразу сравнить между собой три и большее число столбцов, что дает возможность существенно ускорить процесс решения.

Применение критерия Фридмана требует выполнения следующих операций.

1. Ранжирование экспериментальных данных по строкам таблицы 6.7. Обратите внимание, что в этом случае ранжирование проводится не по столбцам (вертикально), т.е. по одному показателю в группе испытуемых, а по строкам (горизонтально), т.е. по всем показателям для одного испытуемого. Выполняя эту операцию в нашей задаче, перепишем еще раз таблицу 6.7, добавив в нее необходимые столбцы для значений рангов.

Таблица 6.8

№ 1	№ 2	№ 3	№4	№ 5	№ 6	№7
№ испы­туемых п/п	Время решения первого задания теста в сек.	Ранги времени решения первого задания теста	Время решения второго задания теста в сек.	Ранги времени решения второго задания теста	Время решения третьего задания теста в сек.	Ранги времени решения третьего задания теста
1	8	3	3	1	5	2
2	4	1	15	3	12	2
3	6	1	23	3	15	2
4	3	1	6	2,5	6	2,5
5	7	2	12	3	3	1
6	15	2	24	3	12	1
Сумма рангов		10		15,5		10,5

2. Суммирование полученных рангов по столбцам таблицы 6.8.

В столбце 3 получена сумма рангов равная 10, в столбце 5 -равная 15,5 и в столбце 7 — равная 10,5.

3. Подсчет общей суммы рангов: 10 + 15,5 + 10,5 = 36.

4. Подсчет суммы рангов по формуле (1.3):

где с — число столбцов;

п — число строк или число испытуемых (что в данном случае одно и то же).

5. Проверка правильности ранжирования. Поскольку значения сумм рангов, полученных двумя разными способами совпали, следовательно, ранжирование проведено правильно.

6. Расчет эмпирического значения критерия Фридмана, осуществляемый по следующей формуле:

где п — количество испытуемых или строчек с — количество столбцов R_i. — сумма рангов i-того столбца

7. Подставляем в формулу 6.1 необходимые значения из таблицы 6.8, получаем

8. По таблице 3 Приложения определяем величины критических значений χ²_Фркр для числа испытуемых равному 6. Соответствующий блок таблицы 3. Приложения представлен в таблице 6.9:

Таблица 6.9

п	Р
	0,052	0,012
6	0,33	8,33

Подчеркнем, что с целью стандартизации предъявления табличных значений, критические значения, взятые из таблицы 3 Приложения даны в виде, соответствующем ранее использованному варианту. Следует особо подчеркнуть, что таблицы для поиска критических значений критерия Фридмана очень специфичны и отличаются от стандартных статических таблиц. Здесь уровни значимости Р — даны нетрадиционно, и поэтому каждый раз следует выбирать наиболее близкие значения к 0,05 и 0,01. В нашем случае эти значения составляют 0,052 и 0,012.

Переводя табличные значения в привычную форму записи, получаем:

Соответствующая «ось значимости» имеет вид:

Таким образом, полученное эмпирическое значение критерия Фридмана попало в зону незначимости. Отсюда следует, что статистически значимых различий во времени решения первых трех заданий теста нет.

Переформулируем полученный результат в терминах нулевой и альтернативной гипотез: поскольку между показателями, измеренными в трех разных условиях, существуют лишь случайные различия, то принимается нулевая гипотеза Н_о, т.е. гипотеза о сходстве, а гипотеза Н₁ отклоняется.

Еще одна специфическая особенность критерия Фридмана заключается в том, что в зависимости от числа измерений (условий), используются разные таблицы критических значений. На это следует особо обратить внимание, чтобы не допустить ошибочных статистических выводов.

Правила использования таблиц для нахождения критических значений в критерии Фридмана приведены ниже:

1. При общем количестве измерений равном 3 и числе испытуемых от 2 до 9 критические значения критерия Фридмана определяются по таблице 3 Приложения.

2. При общем количестве измерений равном 4 и числе испытуемых от 2 до 4 критические значения критерия Фридмана определяются по таблице 4 Приложения.

3. При большем количестве измерений и испытуемых критические значения критерия Фридмана определяются по таблице 12

Приложения для критерия хи-квадрат. В этом случае число степеней свободы определяется по формуле v = с - 1, где с — количество условий измерения. (Подробнее о критерии хи-квадрат см. ниже глава 8).

С целью более глубокого овладения критерием Фридмана рассмотрим еще один вариант задачи, но уже для первых четырех заданий теста.

Задача 6.5. Анализируя результаты предшествующей работы с критерием Фридмана психолог предположил, что время решения четвертого задания будет значимо отличаться от времени решения первых трех заданий.

Решение. Результаты всех четырех измерений приведены в таблице 6.10, в которой произведено ранжирование всех измерений по строкам и суммирование рангов по столбцам.

Таблица 6.10

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	N9 6	№ 7	№ 8	№ 9
№ испы- туе- мых п/п	Время реше- ния пер- вого зада- ния теста в сек.	Ранги вре- мени реше- ния первого зада- ния теста	Время реше- ния второ- го за- дания теста веек.	Ранги вре- мени реше- ния второ- го за- дания теста	Время реше- ния тре- тьего зада- ния теста в сек.	Ранги вре- мени реше- ния третьего зада- ния теста	Время реше- ния чет- вертого зада- ния теста в сек.	Ранги времени реше- ния чет- верто- го за- дания теста
1	8	3	3	1	5	2	12	4
2	4	1	15	4	12	2	13	3
3	6	1	23	4	15	2	20	3
4	3	1	6	2,5	6	2,5	12	4
5	7	2	12	4	3	1	8	3
6	15	3	24	4	12	2	7	1
Сумма рангов		11		19,5		11,5		18

Опускаем объяснения ряда операций, которые даны выше и проверим только правильность ранжирования. Как следует из таблицы 6.10 общая сумма рангов составила: 11 + 19,5 + 11,5 + 18 = 60. Согласно расчетной формуле (1.3):

она должна быть

Равенство полученных сумм подтвердило правильность ранжирования. Определяем эмпирическое значение критерия по формуле (6.1):

Поскольку в данном примере рассматривается четыре измерения, а количество испытуемых больше 4, то критические величины находятся по таблице 12 Приложения для критерия хи-квадрат. Число степеней свободы определяется по формуле v = с - 1 или v = 4 - 1 = 3. Используя привычную форму записи для критических величин, получаем следующее выражение:

«Ось значимости» в этом случае имеет вид:

И вновь полученное эмпирическое значение критерия Фридмана попало в зону незначимости. Следовательно второе предположение психолога не подтвердилось, или, иначе, в терминах статистических гипотез — вновь принимается гипотеза H_о о сходстве времени решения первых четырех заданий теста.

Для применения критерия Фридмана необходимо выполнять следующие условия:

1. Измерение должно быть проведено в шкале интервалов или отношений.

2. Выборка должна быть связной.

3. В выборке должно быть не менее двух испытуемых, каждый из которых имеет не менее трех измеренных показателей. Верхний предел для количества испытуемых не определен, а количество измерений не может превышать 100 (см. таблицу 12 Приложения).

4. В зависимости от числа измерений и количества испытуемых используются разные таблицы значимости (правила выбора таблиц см. выше).