6.2.2. Парный критерий т — Вилкоксона
Для решения задач, в которых осуществляется сравнение двух рядов чисел, кроме критерия знаков G психолог может использовать парный критерий Т— Вилкоксона. Этот критерий является более мощным, чем критерий знаков, и применяется для оценки различий экспериментальных данных, полученных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет выявить не только направленность изменений, но и их выраженность, т.е. он позволяет установить, насколько сдвиг показателей в каком-то одном направлении является более интенсивным, чем в другом.
Критерий Т основан на ранжировании абсолютных величин разности между двумя рядами выборочных значений в первом и втором эксперименте (например «до» и «после» какого-либо воздействия). Ранжирование абсолютных величин означает, что знаки разностей не учитываются, однако в дальнейшем наряду с общей суммой рангов находится отдельно сумма рангов как для положительных, так и для отрицательных сдвигов. Если интенсивность сдвига в одном из направлении оказывается большей, то и соответствующая сумма рангов также оказывается больше. Этот сдвиг, как и в случае критерия знаков, называется типичным, а противоположный, меньший по сумме рангов сдвиг — нетипичным. Как и для критерия знаков эти два сдвига оказываются дополнительными друг к другу. Критерий Т — Вилкоксона базируется на величине нетипичного сдвига, который называется в дальнейшем Тэмп
Задача 6.3. Психолог проводит с младшими школьниками коррекционную работу по формированию навыков внимания, используя для оценки результатов корректурную пробу. Задача состоит в том, чтобы определить, будет ли уменьшаться количество ошибок внимания у младших школьников после специальных коррекционных упражнений?
Решение. Для решения этой задачи психолог у 19 детей определяет количество ошибок при выполнении корректурной пробы до и после коррекционных упражнений. В таблице 6.5 приведены соответствующие экспериментальные данные и дополнительные столбцы, необходимые для работы по парному критерию Т — Вилкоксона.
Таблица 6.5
№ 1 |
№ 2 |
№ 3 |
№ 4 |
№ 5 |
№6 |
№7 |
№ испыту- емых п/п |
До |
После |
Сдвиг (значение разности с учетом знака) |
Абсолютные величины разностей |
Ранги абсолютных величин разностей |
Символ нетипичного сдвига |
1 |
24 |
22 |
-2 |
2 |
10,5 |
|
2 |
12 |
12 |
0 |
0 |
2 |
|
3 |
42 |
41 |
- 1 |
1 |
6,5 |
|
4 |
30 |
31 |
+ 1 |
1 |
6,5 |
* |
5 |
40 |
32 |
- 8 |
8 |
15 |
|
6 |
55 |
44 |
- 11 |
и |
16 |
|
7 |
50 |
50 |
0 |
0 |
2 |
|
8 |
52 |
32 |
-20 |
20 |
18 |
|
9 |
50 |
32 |
- 18 |
18 |
17 |
|
10 |
22 |
21 |
- 1 |
1 |
6,5 |
|
11 |
33 |
34 |
+ 1 |
1 |
6,5 |
* |
12 |
78 |
56 |
-22 |
22 |
19 |
|
13 |
79 |
78 |
-1 |
1 |
6,5 |
|
14 |
25 |
23 |
-2 |
2 |
10,5 |
|
15 |
28 |
22 |
-6 |
6 |
13,5 |
|
16 |
16 |
12 |
-4 |
4 |
12 |
|
17 |
17 |
16 |
- 1 |
1 |
6,5 |
|
18 |
12 |
18 |
+ 6 |
6 |
13,5 |
* |
19 |
25 |
25 |
0 |
0 |
2 |
|
Сумма |
|
|
|
|
190 |
Tэмп =26,5 |
Обработка данных по критерию Т — Вилкоксона осуществляется следующим образом:
В четвертый столбец таблицы 6.5 вносятся величины сдвигов с учетом знака. Их вычисляют путем вычитания из чисел третьего столбца соответствующих чисел второго столбца.
В пятом столбце в соответствие каждому значению сдвига ставят его абсолютную величину.
В шестом столбце ранжируют абсолютные величины сдвигов, представленных в пятом столбце.
Подсчитывают сумму рангов. В нашем примере она составляет:
12,5 + 6,5 + 6,5 + 15 + 16 + 2 + 18 + 17 + 6,5 + 6,5 + 19 + 6,5 + + 10,5 + 13,5 + 12 + 6,5 + 13,5 + 2 = 190
Подсчитывают сумму рангов по формуле (1.1):
Проверяют правильность ранжирования на основе совпадения сумм рангов полученных двумя способами. В нашем случае обе величины совпали, 190 = 190, следовательно, ранжирование проведено правильно.
Любым символом отмечают все имеющиеся в таблице нетипичные сдвиги. В нашем случае — это три положительных сдвига.
Суммируют ранги нетипичных сдвигов. Это и будет искомая величина Т . В нашем случае эта сумма равна: Т = 6,5 + 13,5 + 6,5 = 26,5.
По таблице 2 Приложения определяют критические значения Ткр для n = 19. Подчеркнем, что в данном критерии, в отличие от критерия знаков, поиск критических величин в таблице 2 Приложения ведется по общему числу испытуемых.
Нужная нам строка таблицы Приложения выделена ниже в таблицу 6.6:
Таблица 6.6
п |
Р |
|
0,05 |
0,01 |
|
19 |
53 |
38 |
Поскольку в нашем случае основной, типичный сдвиг — отрицательный, то дополнительный, «нетипичный» сдвиг будет положительным и на уровне значимости в 5% сумма рангов таких сдвигов не должна превышать числа 53, а при уровне значимости в 1% не должна превышать числа 38. Используем принятую форму записи, представим сказанное выше следующим образом:
Строим «ось значимости»:
Анализ «оси значимости» показывает, что полученная величина Тзмп попадает в зону значимости. Можно утверждать, следовательно, что зафиксированные в эксперименте изменения неслучайны и значимы на 1% уровне. Таким образом, применение коррекционных упражнений способствует повышению точности выполнения корректурной пробы.
Полученный результат может быть переформулирован в терминах нулевой и альтернативной гипотез: поскольку преобладание типичного отрицательного направления сдвига в данном конкретном эксперименте не является случайным, то должна быть принята гипотеза H1 о наличии различий, а гипотеза Но отклонена.
Обращаем внимание читателя, что направление «оси значимости» в этом критерии, так же как и критерии знаков, имеет положение нуля справа, в отличие от традиционного — слева, и увеличение числового ряда идет в противоположную сторону.
Для применения критерия Т Вилкоксона необходимо соблюдать следующие условия:
Измерение может быть проведено во всех шкалах, кроме номинальной.
Выборка должна быть связной.
Число элементов в сравниваемых выборках должно быть равным.
Критерий Т — Вилкоксона может применяться при численности выборки от 5 до 50 (на большую величину не рассчитана таблица достоверности).