4.4. Разброс выборки

Разброс (иногда эту величину называют размахом) выборки обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки — разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда, т.е.

R = X_тах — Х_min

Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный. Например, даны две выборки:

X = 10 15 20 25 30 35 40 45 50 X = 30 R = 40

Y = 10 28 28 30 30 30 32 32 50 Y = 30 R = 40

При равенстве средних и разбросов для этих двух выборочных рядов характер их варьирования различен. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.

4.5. Дисперсия

Рассмотрим еще одну очень важную числовую характеристику выборки, называемую дисперсией. Дисперсия представляет собой наиболее часто использующуюся меру рассеяния случайной величины (переменной). Дисперсия это среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от её среднего значения.

где п — объем выборки

j_— индекс суммирования

X — среднее, вычисляемое по формуле (4.1).

Вычислим дисперсию следующего ряда

2 4 6 8 10 (4.5)

Прежде всего, найдем среднее ряда (4.5). Оно равно X = 6.

Рассмотрим величины: (X_t — X) для каждого элемента ряда. Иными словами, из хаждого элемента ряда 4.5 вычтем величину среднего этого ряда. Полученные величины характеризуют то, насколько каждый элемент отклоняется от средней величины в данном ряду. Обозначим полученную совокупность разностей как множество Т. Тогда Т есть:

Т= (2 - 6 = -4; 4 — б = -2; 6 - 6 = 0; 8 - 6 = 2; 10 - 6 = 4).

Так образуется новый ряд чисел. Его особенность в том, что при сложении этих чисел обязательно получится ноль. Проверим:

(-4) + (-2) + 0 + 2 + 4 = 0.

Отметим, что сумма такого ряда Σ(Х_ι — X)всегда будет равна нулю.

Для того чтобы избавиться от нуля, каждое значение разности (X_t — X) возводят в квадрат, все их суммируют и затем делят на число элементов, т.е. применяют формулу 4.4. В нашем примере получится следующее:

Это и есть искомая дисперсия

Общий алгоритм вычисления дисперсии для одной выборки следующий:

1. Вычисляется среднее по выборке.

2. Для каждого элемента выборки вычисляется его отклонений от средней, т.е. получается множество Т.

3. Каждый элемент множества T возводят в квадрат.

4. Находится сумма этих квадратов.

5. Эта сумма, как и в случае вычисления среднего, делится на общее количество членов ряда — п. В ряде случаев, особенно когда величина выбоки мала, деление осуществляется не на величину п, а на величину п— 1.

Величина, получающаяся после пятого шага, и есть искомая дисперсия.

Расчет дисперсии для таблицы чисел осуществляется по формуле 4.6:

где х_i — значения всех переменых, полученных в эксперименте, или все элементы таблицы;

индекс j меняется от 1 до р, где р число столбцов в таблице, а индекс i меняется от 1 до n, где п — число испытуемых или число строк в таблице.

X — общая средняя всех элементов таблицы, вычисленная по формуле 4.3;

Ν — общее число всех элементов в таблице (анализируемой совокупности экспериментальных данных) и в общем случае N = р ∙ п.

Дисперсию для генеральной совокупности принято обозначать как σ², а дисперсию выборки как S_x², причем индекс х обозначает, что дисперсия характеризует варьирование числовых значений признака вокруг их средней арифметической.

Преимущество дисперсии перед размахом в том, что дисперсию можно представить как сумму ряда чисел (согласно ее определению), т.е. разложить на составные компоненты, позволяя тем самым более подробно охарактеризовать исходную выборку. Важная характеристика дисперсии заключается также и в том, что с её помощью можно сравнивать выборки, различные по объему.

Однако сама дисперсия, как характеристика отклонения от среднего, часто неудобна для интерпретации. Так, например, предположим, что в эксперименте измерялся рост в сантиметрах, тогда размерность дисперсии будет являться характеристикой площади, а не линейного размера (поскольку при подсчете дисперсии сантиметр возводится в квадрат).

Для того чтобы приблизить размерность дисперсии к размерности измеряемого признака применяют операцию извлечения квадратного корня из дисперсии. Полученную величину называют стандартным отклонением.

Из суммы квадратов, деленных на число членов ряда извлекается квадратный корень.

Другими словами, стандартное отклонение выборки S_x представляет собой корень квадратный, извлеченный из дисперсии выборки S_x² Стандартное отклонение для генеральной совокупности обозначают также символом σ. Подчеркнем еще раз, что размерность стандартного отклонения и размерность исходного ряда совпадают. В нашем примере

Свойства дисперсии:

1. Если значения измеренного признака не отличаются друг от друга (равны между собой) — дисперсия равна нулю. Это соответствует отсутствию изменчивости в данных.

2. Прибавление одного и того же числа к каждому значению переменной не меняет дисперсию:

Рис. 4.1. Графики распределения частот: с разной дисперсией (D₁<D₂, одинаковой дисперсией (D₂= D₃) и разными средними арифметическими (М₂<М₃)

Прибавление константы к каждому значению переменной сдвигает график распределения этой переменной на эту константу (меняется среднее), но изменчивость (дисперсия) при этом остается неизменной.

3. Умножение каждого значения переменной на константу с изменяет дисперсию в с² раз:

При объединении двух выборок с одинаковой дисперсией, но с разными средними значениями дисперсия увеличивается.

Пример

Если одна группа содержит значения: 1,1,1,1,1, а другая группа —значения 3,3, 3, 3, 3, то дисперсии этих групп одинаковы и равны 0. Если же объединить эти две группы, то дисперсия будет равна не 0, а 1.

Вообще говоря, справедливо утверждение: при объединении двух групп к внутригрупповой дисперсии каждой группы добавляется дисперсия, обусловленная различием между группами (их средними). И чем больше различие между средними значениями, тем больше увеличивается дисперсия объединенных групп.

Стандартизация или z-преобразование данных — это перевод измерений в стандартную Z-шкалу (Z-scores) со средним М_г = 0 и D_z (или а_г) = 1. Сначала для переменной, измеренной на выборке, вычисляют среднее М_х стандартное отклонение а_х. Затем все значения переменной х, пересчитываются по формуле:

В результате преобразованные значения (z-значения) непосредственно выражаются в единицах стандартного отклонения от среднего. Если для одной выборки несколько признаков переведены в z-значения, появляется возможность сравнения уровня выраженности разных признаков у того или иного испытуемого. Для того чтобы избавиться от неизбежных отрицательных и дробных значений, можно перейти к любой другой известной шкале: IQ (среднее 100, сигма 15); Т-оценок (среднее 50, сигма 10); 10-балльной — стенов (среднее 5,5, сигма 2) и др. Перевод в новую шкалу осуществляется путем умножения каждого z-значения на заданную сигму и прибавления среднего:

Асимметрия (Skewness) — степень отклонения графика распределения частот от симметричного вида относительно среднего значения. Если исходные данные переведены в z-значения, показатель асимметрии вычисляется по формуле:

Для симметричного распределения асимметрия равна 0. Если чаще встречаются значения меньше среднего, то говорят о левосторонней, или положительной асимметрии (As > 0). Если же чаще встречаются значения больше среднего, то асимметрия — правосторонняя, или отрицательная (As<0). Чем больше отклонение от нуля, тем больше асимметрия.

Эксцесс (Kurtosis) — мера плосковершинности или остроконечности графика распределения измеренного признака. Если исходные данные переведены в z-значения, показатель эксцесса определяется формулой:

Островершинное распределение характеризуется положительным эксцессом (Ех> 0), а плосковершинное — отрицательным (-3 < Ех< 0). «Средневер-шинное» (нормальное) распределение имеет нулевой эксцесс (Ех = 0).