4.3. Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда из п числовых значений X₁ X₂ ...X_n обозначается X и подсчитывается как:

Здесь величины 1, 2...и являются так называемыми индексами. В том случае, если отдельные значения выборки повторяются, среднюю арифметическую вычисляют по формуле:

X в таком случае называют взвешенной средней, где f_i — частоты повторяющихся значений.

Знак Σ является символом операции суммирования. Он означает, что все значения X_t должны быть просуммированы. Числа, стоящие над и под знаком Σ называются пределами суммирования и указывают наибольшее и наименьшее значения индекса суммирования, между которыми расположены его промежуточные значения.

Например, в формуле (4.1) суммирование начинается с первого элемента выборки, поэтому и пишется так: ι = 1, и заканчивается последним, поэтому наверху символа суммирования Σ стоит величина п.

Если же мы запишем так:

то, поскольку нижний индекс суммирования i равен 4, а верхний равен 6, то будут просуммированы следующие элементы ряда Х₄, Х₅ и Х₆, и в результате будет получено: Х₄ + Х₅ + Х₆. Или, если будет написано следующее выражение:

то, поскольку нижний индекс суммирования ι равен 1, а верхний равен 3, то будут просуммированы следующие элементы ряда X₁, Х₂ и Х₃, и в итоге будет получено: Х₁ + Х₂ + Х₃

В дальнейшем мы будем пользоваться сокращением, которое состоит в том, что если производится суммирование всех элементов выборки от первого до последнего, то верхний и нижний пределы суммирования указываться не будут, а пишется просто: ΣΧ или ΣΧ_i

При вычислении величины средней по таблице чисел в дальнейшем будет использоваться следующая формула:

где х_ji — значения всех переменых, полученных в эксперименте, или все элементы таблицы;

при этом индекс j меняется от 1 до р, где р число столбцов в таблице, а индекс i меняется от 1 до n, где п — число испытуемых или число строк в таблице.

Тогда X — общая средняя всей анализируемой совокупности данных; N — общее число всех элементов в таблице (анализируемой совокупности экспериментальных данных) и в общем случае N = р ·п.

Символическое обозначение х_ij очень удобно. Например, пусть перед нами стоит задача — указать конкретный элемент нашей таблицы. Для этого мы должны знать номер столбца, например 4, и номер строки (или порядковый номер испытуемого), например 5. Тогда его обозначение будет таково: х₅₄. Это значит, что выбран пятый элемент в строчке из четвертого столбца.

Символ ΣΣ (двойная сумма) означает, что вначале осуществляется суммирование всех элементов таблицы по индексу i — т.е. по строкам, затем полученные суммы по строчкам складываются по столбцам, или, иначе говоря, по индексу j.

Следует подчеркнуть, что средние величины характеризуют выборку одним (средним) числом. Преимущество, или иначе, информативная значимость, средних величин заключается в их способности аккумулировать или уравновешивать все индивидуальные отклонения, в результате чего проявляется то наиболее устойчивое и типичное, что характеризует качественное своеобразие варьирующего объекта, позволяя отличить одну выборку от другой, а на этой основе, например, одно измеренное психологическое свойство от другого.

Однако среднее как статистический показатель не лишено недостатков. Так, например, при вычислении среднего количества ошибок при выполнении корректурной пробы может быть получена величина равная 1,3 ошибки или при определении среднего числа учеников, обучающихся в пятых классах данной школы, может быть получена величина равная 30,07. Конечно, с точки зрения статистика эти величины обычны, но для психо­логических задач они могут быть неприемлемы.

Кроме того, среднее оказывается достаточно чувствительным к очень маленьким или очень большим величинам, отличающимся от основных значений измеренных характеристик.

Приведем пример из книги Дж. Б. Мангейма и Ричарда К. Рича: «Политология. Методы исследования» М., 1997 г. «Пусть 9 человек имеют доход от 4500 до 5200 тыс. долларов в месяц. Величина их среднего дохода равняется 4900 долларов. Если же к этой группе добавить человека, имеющего доход в 20000 тыс. долларов в месяц, то средняя всей группы сместится и окажется равной 6410 долларов, хотя никто из всей выборки (кроме одного человека) реально не получает такой суммы. Понятно, что аналогичное смещение, но в противоположную сторону можно получить и в том случае, если добавить в эту группу человека с очень маленьким годовым доходом».

Важно подчеркнуть, что подобные крайние величины, т.е. те, которые существенно искажают величину средней, оказываются в то же время и наименее характерными для изучаемой генеральной совокупности. Именно поэтому в статистике, кроме средней величины, используются и другие характеристики «типичных значений» выборки, такие, как мода, медиана и ряд других характеристик.

КВАНТИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Помимо мер центральной тенденции в психологии широко используются меры положения, которые называются квантилями распределения. Квантиль — это точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю совокупность упорядоченных измерений на две группы с известным соотношением их численности. С одним из квантилей мы уже знакомы — это медиана. Это значение признака, которое делит всю совокупность измерений на две группы с равной численностью. Кроме медианы часто используются процентили и квартили.

Процентили (Percentiles) — это 99 точек — значений признака (Р₁, ..., Р₉₉), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 частей, равных по численности. Определение конкретного значения процентиля аналогично определению медианы. Например, при определении 10-го процентиля, P₁₀, сначала все значения признака упорядочиваются по возрастанию. Затем отсчитывается 10% испытуемых, имеющих наименьшую выраженность признака. P₁₀ будет соответствовать тому значению признака, который отделяет эти 10% испытуемых от остальных 90%.

Квартили (Quartiles) — это 3 точки — значения признака (Р₂₅, Р₅₀, Р₇₅), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 4 равные по численности части. Первый квартиль соответствует 25-му процентилю, второй — 50-му процентилю или медиане, третий квартиль соответствует 75-му процентилю.

Процентили и квартили используются для определения частоты встречаемости тех или иных значений (или интервалов) измеренного признака или для выделения подгрупп и отдельных испытуемых, наиболее типичных или нетипичных для данного множества наблюдений.