Теория и алгоритм расчета симплекс-решетчатого планирования

Для технолога большое значение представляет знание зависимости различных свойств материала от химического состава (концентрации компонентов). Оптимальной является ситуация, когда указанные зависимости представлены в виде диаграмм состав – свойство. Все возрастающие требования к материалам, получаемым методами керамической технологии, приводят к увеличению числа компонентов в шихте или полуфабрикате, что влечет за собой трудности в графической интерпретации диаграмм состав – свойство. Так, свойства 3-компонентой системы можно изобразить только в перспективном виде, и ее точное прочтение становится затруднительным. Поэтому представляет интерес описание зависимостей состав – свойство с помощью математических моделей в виде полиномиального уравнения типа уравнения, где аргументами xi , ....., xj являются концентрации компонентов. При этом отпадает необходимость в пространственном представлении сложных поверхностей многокомпонентных систем, так значение соответствующего свойства можно определить из уравнения простым расчетом, либо для графического изображения зависимости построить, также расчетным путем, линии равных значений на концентрационном треугольнике.

Построение диаграмм состав – свойство с помощью методов математического планирования эксперимента сводится к следующей схеме:

– выбор модели;

– составление и реализация матрицы планирования;

– вычисление коэффициентов уравнения;

– проверка адекватности модели;

– в случае адекватности модели – построение модели в виде линий равных значений и расчет доверительных интервалов;

– в случае неадекватности модели – переход к модели более высокой степени.

Выбор модели

Если система состоит из k независимых компонентов, то функцию изменения какого-либо свойства, как отмечалось выше, можно представить в виде полиномиального уравнения (1):

, (1)

где: Y – изучаемое свойство системы; х₁, ..., х_k – концентрация компонентов в системе; b_o, b_i, ... – коэффициенты уравнения.

Уравнение (1) представляет собой полином n степени от k переменных и имеет число коэффициентов b, равное числу сочетаний .

Шеффе предложил описывать зависимости состав – свойство с помощью так называемых приведенных полиномов на основании условия нормировки суммы независимых переменных (2):

, (2)

С учетом нормированности суммы компонентов модель полного квадратичного приближения для тройной системы описывается уравнением (3):

(3)

так как , то умножив обе части уравнения на b_о, получим

. (4)

После подстановки (4) в (3) и преобразования получаем приведенный полином

, (5)

Число коэффициентов, которые необходимо определить экспериментально, уменьшилось с 10 до 6. В таблице 1 представлены данные по числу опытов, которые необходимо провести для построения математических моделей различной степени при соответствующим числе компонентов.

Таблица 1 – Число опытов для получения моделей разных степеней для некоторых многокомпонентных систем для случая приведенного полинома

Число компонентов (k)	Квадратичная модель, n=2	Кубическая модель, n=3	Модель 4-го порядка, n=4	Неполная кубическая модель, n=3
3	6	10	15	7
4	10	20	35	14
5	16	35	70	25
6	21	56	126	41
8	36	120	330	92

Поверхности отклика в многокомпонентных системах имеют, как правило, достаточно сложный характер. Для описания таких поверхностей необходимы полиномы высоких степеней и, следовательно, большое количество опытов. На практике приходится выбирать между приемлемым числом опытов и достаточной степенью полинома, которая, как привило, не превышает четвертую, а число варьируемых компонентов ограничивают тремя – четырьмя. описаны отдельными полиномами, относительно невысокой степени.

Таким образом, выбор модели сводиться к установлению числа варьируемых компонентов рассматриваемой системы (если система содержит много компонентов, то целесообразно часть из них задать постоянным количеством сверх 100% по отношению к варьируемым, число которых ограничивают 3–4) и заданием степени полинома, описывающего функцию отклика.

Так модель второй степени для 3-компонентной системы будет иметь вид, соответствующий уравнению (5).