6˚. Степенные ряды.

Пусть задана последовательность комплексных чисел и комплексное число а. Степенным рядом называют ряд следующей структуры :

, (7)

где z - любое комплексное число. Члены последовательности называют коэффициентами этого ряда. Подставляя в (7) различные значения z, мы будем получать различные числовые ряды. Каждый такой ряд может оказаться сходящимся или расходящимся .Совокупность К тех z , при которых ряд (7) сходится, называют множеством сходимости этого ряда. Заметим, что z = = а всегда принадлежит К : при z = а все члены ряда, кроме, может быть,с₀ , равны нулю; следовательно, ряд сходится, а его сумма равна с₀.

Пример 16. Рассмотрим ряд

Здесь При z = -i ряд сходится. Пусть z ≠ -i ; исследуем с помощью признака Даламбера сходимость ряда . Полагая a_k = = будем иметь: . Согласно признаку Даламбера ряд сходится при всяком z ≠ -i ; значит, при тех же z ряд абсолютно сходится. Итак, сходится при всяком комплексном z ; множество сходимости К этого ряда есть вся комплексная плоскость С.

Пример 17. Рассмотрим ряд , где а – некоторое комплексное число. При z = а ряд сходится. Пусть z ≠ а. Заметим, что в этом случае, оче- видно, k·|z-a| стремится к +∞, поэтому и Отсю- да ясно, что при z ≠а общий член рассматриваемого ряда не может стремить- ся к нулю, следовательно ряд расходится. Таким образом, множество сходи- мости К этого ряда содержит только одну точку а .

Пример 18. Рассмотрим ряд = 1 + . Все коэффициен- ты с_k этого ряда равны 1, а = 0. Из примеров 1 и 5 следует, что этот ряд сходится, если |z| < 1, и расходится, если |z| ≥ 1. Следовательно, множество сходимости К представляет собой круг радиуса 1 с центром в точке а = 0.

Bыясним структуру множества К в общем случае и укажем способы его отыскания.

Теорема 13. (Теорема Абеля ) 1) Пусть ряд (7) сходится при z = z′, где z′ - некоторое комплексное число, отличное от а; тогда он абсолютно сходится при всяком z , удовлетворяющем неравенству |z-a| < | z′-a|.

2) Пусть ряд (7) расходится при z = z″, где z″ ≠ а ; тогда ряд расходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z-a| > | z″-a|.

► 1) Так как сходится, то последовательность является бесконечно малой ( свойство 2), 2˚) . Значит, она ограничена: существует М > 0 такое, что при всех целых k ≥ 0 . Пусть z удовлетворяет неравенству |z-a| < | z′-a|. Тогда , где . Ряд сходится ( пример 1, 1˚), следовательно, по первому признаку сравнения сходится ряд , т.е. абсолютно сходится.

2) Допустим противное: нашлось z₀ , | z₀-a | > | z″-a | , такое, что при z = z₀ ряд (7) сходится. Тогда по доказанному в 1) ряд сходится при всех z, удов -летворяющих неравенству |z-a| < | z₀ -a| . Число z″ этому неравенству удов- летворяет, значит, ряд сходится при z = z″ . Возникшее противоречие с усло- вием теоремы доказывает утверждение 2). ◄

Теорема 14. ( О существовании круга сходимости ) Пусть задан степенной ряд (7). Тогда либо 1) ряд сходится при всех комплексных z , либо 2) ряд сходится только при z = а , либо 3) существует положительное R такое, что ряд абсолютно сходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z-a |<R, и расходится при всяком z, удовлетворяющем неравенству |z-a |> R .

► Рассмотренные выше примеры 16 и 17 свидетельствуют о том , что су- ществуют ряды, для которых справедливы утверждения 1) или 2). Допустим, что для заданного ряда (7) ни один из этих двух случаев места не имеет. Тогда, очевидно, должны существовать отличные от а числа z′ и z″ такие, что при z = z′ ряд сходится, а при z = z″ он расходится. В силу утверждения 2) теоремы Абеля ряд расходится при всяком z, таком, что |z-a| > | z″-a| ; следовательно, для всякого z, принадежежащего множеству сходимости К рассматриваемого ряда, должно быть выполнено |z-a|≤ |z″-a| . Обозначим : R = . Так как z′ K , a z″ K, то, ясно, что |z′ – a| ≤ R ≤ |z″-a|, т.е. R – это некоторое положительное число. Ясно также, что, ряд расходится при всяком z таком, что |z-a | > R. Пусть ζ удовлетворяет неравенству |ζ-a | < R. Так как R есть точная верхняя грань величины |z-a | по множеству К, в К найдется число z₀ такое, что |ζ - a| < |z₀ - a| ≤ R. Ряд сходится при z = z₀, значит, по теореме Абеля он абсолютно сходится при z = ζ. Но ζ – любое число, удовлетворяющее неравенству |ζ-a | < R. Таким обрзом, ряд абсолют- но сходится при всяком z , |z-a | < R, и теорема доказана полностью. ◄

Геометрически утверждение 3) доказанной теоремы означает,что если множество сходимости ряда отлично от всей комплексной плоскости и не сводится только к точке а, то существует положительное число R такое, что ряд (7) абсолютно сходится при всяком z, лежащем внутри окружности радиуса R с центром в точке а и расходится при каждом z вне этой окружности. Круг, ограниченный указанной окружностью называют кругом сходимости ряда (7). Что касается точек самой этой окружности, то в них различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни ряды сходятся в каждой ее точке, другие (например, ряд примера 18) расходятся во всех ее точках, наконец, может быть и так, что на этой окружности имеются и точки, в которых ряд сходится, и точки, в которых ряд расходится. Таким образом, в случае 3) множество сходимости К представляет собой круг сходимости, дополненный, быть может, всеми точками ограничивающей его окружности или частью ее точек .

Число R называют радиусом сходимости ряда (5). Это понятие распростра- няют и на случаи 1) и 2), полагая в случае 1) R равным +∞ , а в случае 2) рав- ным нулю. Ясно, что для отыскания множества сходимости ряда важно знать его радиус сходимости.

Теорема 15. ( О вычислении радиуса сходимости ) Пусть задан ряд (7) и пусть или , где r либо неотрицательное число, либо символ +∞. Обозначим радиус сходимости ряда через R.Тогда: 1) если 0< r < < +∞, то R = ; 2) если r = 0, то R = +∞; 3) если r = +∞, то R = 0.

► Рассмотрим случай . Воспользуемся признаком Даламбера. Положив a_k = , будем иметь:

1) Пусть 0 < r < +∞. По признаку Даламбера, если q < 1, где q = , то ряд сходится. Значит, этот ряд сходится при тех z, при которых |z-a| r < 1, т.е. |z-a| < . Если же q > 1, т.е. |z-a| > , то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю ( см. доказательство признака Даламбера). Переходя теперь к ряду , заключаем, что этот ряд абсолютно сходится, если |z-a| < , и расходится, так как его общий член не стремится к нулю, если |z-a| > . Значит, число есть радиус сходимости R ряда .

2) Пусть r = 0. Тогда введенное выше q равно нулю при любом z. Следо- вательно, сходится при всех z С, а потому ряд сходится абсолютно при всех z С .

3) Пусть r = +∞. Тогда введенное выше q равно +∞ при любом z, отлич- ном от а; поэтому при z ≠ а общий член ряда не стремится к ну- лю ( см. доказательство признака Даламбера). Отсюда ясно, что и общий член ряда не стремится к нулю при указанных z; следовательно, этот ряд расходится при всяком z, отличном от а.

В случае доказательство аналогично с той лишь разницей,что оно опирается на радикальный признак Коши. ◄

Пример 19. Рассмотрим степенной ряд , где λ - вещественное число. Найдем его радиус сходимости R. Имеем: r = . Значит, R = 1, и круг сходимости этого ряда – это единичный круг |z| < 1. Выясним поведение ряда в точках единичной окружности |z| = 1, т.е. при z = exp (iφ), 0≤ φ < 2π. Подставив такое z, получим ряд 1+ , рассмот- ренный выше в примерах 11,12 и 14. Основываясь на этих результатах, зак- лючаем : при λ ≤0 ряд расходится во всех точках единичной окружности, при λ > 1 он абсолютно сходится во всех ее точках, если же 0 < λ ≤1, то ряд расходится в точке z =1 (φ = 0) и условно сходится в осталь- ныхъ точках единичной окружности (0< φ < 2π).