5 ˚. Абсолютно сходящиеся ряды

Если сходится ряд , то ряд также сходится ( теорема 8 ). Если же расходится, то может оказаться как сходящимся, так и расхо- дящимся рядом. Ряд называют абсолютно сходящимся рядом, если сходится . Если сходится, а расходится, то говорят, что сходится неабсолютно или условно.

Пример 13. При λ ≤ 0 ряд расходится, а при λ > 0 он сходится ( пример 10) . Заметим: , а расходится при 0 < λ ≤ 1 и сходится при λ > 1. Значит, при 0 < λ ≤ 1 ряд сходится условно, а при λ > 1 его сходимость абсолютная.

Пример 14. Пусть φ . Ряд сходится при λ > 0 ( при- меры 11 и 12). Так как , то при 0 < λ ≤ 1 сходимость этого ряда условная, а при λ > 1 - абсолютная.

Абсолютно сходящиеся ряды представляют особый интерес, ибо они обладают свойствами, сближающими их с конечными суммами. Ниже эти свойства будут рассмотрены подробно; а пока отметим, что их наличие упрощает обращение с абсолютно сходящимися рядами; поэтому, имея дело со сходящимся рядом , важно выяснить, является ли он абсолютно схо- дящимся, для чего нужно исследовать сходимость ряда . Так как члены его неотрицательны, применимы теоремы, изложенные в 3˚. Кроме того, если z _k- мнимые числа, часто оказывается полезной следующая теорема.

Теорема 11 . Пусть и - последовательности вещественных чисел . Обозначим : z_{k =} x_k + i y_k. Для того чтобы ряд абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились оба ряда и .

► Необходимость. Так как |x _k| ≤ |z _k|, то в силу первого признака сравнения из сходимости вытекает сходимость . Доказательство схо- димости аналогично.

Достаточность. Пусть и сходятся; тогда сходится и . Из неравенства |z _k| ≤ |x _k| + |y_k| и первого признака сравне- ния вытекает сходимость . ◄

Пример 15. Рассмотрим ряды и , где φ и λ – вещественные числа, причем число φ не кратно π. Заметим: , . При λ > 0 ряд сходится; значит (свойство 7₁₎, 2˚), при λ > 0 рассматриваемые ряды сходятся. Из примера 14 и теоремы 10 вытекает, что при λ > 1 их сходимость абсолютная, а при 0 < λ ≤ 1 сходимость хотя бы одного из них должна быть условной.

Покажем, что при 0 < λ ≤ 1 ряд сходится условно, т.е. что при указанных λ расходится. Сначала покажем, что расходится ряд . Действительно, . При 0 < λ ≤ 1 ряд расходится, а сходится ( см. выше). Следова- тельно (свойство 4 и свойство 5₂₎, 2˚ ), ряд расходится. Так как , то , поэтому . По первому признаку сравнения расходится. Аналогично можно установить, что при 0 < λ ≤ 1 и φ , не кратных π , ряд расходится.

Итак, пусть φ - вещественное число, не кратное π. При λ > 0 ряды и сходятся, причем для 0 < λ ≤ 1 их сходимость условная, а для λ > 1 она абсолютная

Сформулируем и докажем основные свойства абсолютно сходящихся рядов .

1. Произведение любого числа на абсолютно сходящийся ряд есть абсо-лютно сходящийся ряд. Сумма двух абсолютно сходящихся рядов есть абсолютно сходящийся ряд.

► Пусть и абсолютно сходятся, а λ – некоторое число. Так

как и сходятся, то сходятся и и ( свойства 4 и 5 , 2˚). Отсюда следует, во – первых, что произведение абсолютно сходится. Во-вторых, так как | z′_k + z″_k| ≤ |z′_k| + |z″_k| , сходится , т.е. сумма рядов и абсолютно сходится . ◄

Пусть заданы две последовательности и . Будем говорить, что можно получить из перестановкой ее членов, если для всякого натурального j существует натуральное k_j такое ,что w _j = z _k , причем последовательность чисел отличается от натурального ряда 1,2, … лишь порядком, в котором расположены составляющие ее натуральные числа.

Если можно получить из перестановкой ее членов, то и последовательность можно получить из , переставив ее члены: для всякого натурального k найдется натуральное j _k такое, что z _k = w_j .

Будем говорить, что ряд получен из ряда перестановкой его членов, если последовательность {w_j} можно получить из {z_k}, переставив ее члены.

2. ( Переместительное свойство) Пусть ряд абсолютно сходится, а S - его сумма. Если ряд получен перестановкой членов ряда , то он также абсолютно сходится, причем его сумма равна также S.

► Пусть n и m - натуральные числа. Обозначим: S , , S ,S . Имеем: w _j = z _k , j = 1,2, … ,m . Обозначим через К наибольшее из чисел k_1, k₂, …, k_m . Очевидно, К ≥ m; поэто- му S = , где А- сумма ряда . Таким образом, последовательность { S } частичных сумм ряда ограничена сверху числом А, значит ( теорема 1, 3˚ ), этот ряд сходится, т.е. сходится абсолютно.

Докажем, что число S является суммой ряда , т.е. , что S :

N N ( m >m _ε )

Зададим некоторое ε > 0. Так как S является пределом последовательности {S }, то ([3], п. 3.2 ), найдется натуральное n такое, что при всех n > n справедливо .Так как последовательность { S } сходится, в силу критерия Коши ([3], п.3.8) существует натуральное n такое, что при всех n > n и любых натуральных р cправедливо Выберем некоторое натуральное N > max{ n , n }. Заметим:

; при любом натуральном р (4)

Имеем: z_k = w_{j ,} k = 1,2, …, N. Обозначим: m _ε = max{ j₁, j₂, …, j_N}. Очевидно, m _ε ≥ N. Пусть m > m _ε . Рассмотрим разность S – S . Добавляя и вычитая S , получим : S - S = (S – S ) + ( S - S). Отсюда и из (4):

| S - S| ≤ | S – S | + | S - S| < + | S – S | (5)

Докажем, что | S – S |< . Заметим: S – S = Так как m > m _ε = max{ j₁,j₂, …,j_N}, то S содержит все слагаемые суммы S ; следовательно, S – S представляет собой сумму , из которой удаленa часть ее слагаемых, а именно, слагаемые с номерами j₁, j₂, …, j_N . Для оставшихся m-N слагаемых введем обозначения: W₁, W₂, …,W_m-N : S – S = W₁+W₂+… …+W_m-N . Тогда | S – S | ≤ . Каждое из чисел W_l , l =1,2,…, m-N, является и членом последовательности ; пусть W_l = z_k , l =1,2,…, m-N. Введем обозначение : К = = max{ k₁,k₂,…,k_m-N}. Каждое из чисел k₁,k₂,…,k_m-N больше N , ибо из S удалены слагаемые суммы S , т.е. числа z₁, z₂, …, z_N . Значит, К > N , т.е. К = N + р, где р - некоторое натуральное число. Ввиду этого можем записать:

| S – S | ≤ = ≤

Отсюда и из (4) следует: | S – S | < . Подставив эту оценку в (5), можем утверждать: при всяком m > m _ε справедливо неравенство ◄

Таким образом, сумма абсолютно сходящегося ряда , как и сумма конечного количества слагаемых, не зависит от порядка , в котором производится сложение. Отметим, что условно сходящиеся ряды подобным свойством не обладают, о чем говорит следующая теорема.

Теорема 12. (Теорема Римана ) Пусть - условно сходящийся ряд с вещественными членами. Каким бы ни было заданное S – любым вещественным числом или одним из символов + ∞ ,- ∞ , - всегда существует ряд , полученный из перестановкой его членов, сумма которого равна S.

Доказательство этой теоремы можно найти в [2].

Еще одно свойство абсолютно сходящихся рядов, сближающее их с конечными суммами, связано с операцией умножения ряда на ряд.. Опишем эту операцию.

Пусть заданы два ряда и Умножая каждый член первого ряда последовательно на все члены второго, получим бесконечное множество всевозможных попарных произведений, которое запишем в виде матрицы, имеющей бесконечное количество строк и бесконечное количество столбцов :

z ₁w₁ z₁w₂ … z₁w_j …

z₂w₁ z₂w₂ … z₂w_j …

….……………………………. (6)

z_kw₁ z_kw₂ … z_kw_j …

………………………………..

Произведением ряда на ряд называют ряд, составленный из всех элементов этой матрицы, т.е. ряд вида , причем каждый эле- мент матрицы встречается в последовательности только один раз. Чтобы построить такой ряд, нужно каким-нибудь способом перенумеро- вать элементы матрицы, т.е. каждому элементу присвоить натуральный но- мер s, причем разным элементам должны быть присвоены обязательно раз- личные номера. Ниже представлены два таких способа присваивания но -меров элементам матрицы - ″по диагоналям″ и ″по квадратам″:

1 2 4 7 … 1 2 5 10 …

3 5 8 … 4 3 6 11 …

6 9 …. 9 8 7 12 …

10 …. 16 15 14 13 …

Конечно, возможны и другие способы. Заметим, что два ряда, построенные различными способами, отличаются один от другого лишь порядком, в кото- ром расоложены их члены, т.е. один ряд может быть получен из другого за счет перестановки его членов.

3. Пусть ряды и абсолютно сходятся , а S и S - суммы

этих рядов. Тогда всякий ряд , составленный из элементов матрицы (6) также абсолютно сходится,причем его сумма равна S · S .

► Пусть n - некоторое натуральное число. Введем обозначения : S , S , S , S - сумма ряда , S - сумма ряда . Заметим:: S ≤ S · S , так как каждое слагаемое суммы S содержится в произведении сумм S · S . Очевидно, S ≤ S , S ≤ ≤ S . Следовательно, при всяком натуральном n S ≤ S · S ,т.е. после- довательность частичных сумм ряда ограничена сверху числом S · S , значит (теорема 1, 3° ), этот ряд сходится, а абсолютно сходится.

Обозначим через S сумму ряда и докажем, что она равна произ- ведению сумм рядов и . Обозначим: S = .Заметим , что последовательность {S } сходится к S .Так как S не зависит от способа приписывания номеров элементам матрицы (6), будем считать, что в ряде эти элементы перенумерованы ″по квадратам″. Тогда при всяком n S = S S . Значит, S → S · S . Но так как вся последовательность {S } сходится к S , то и ее подпоследовательность { S } имеет тот же предел. Следовательно, S = S · S . ◄