Вопросы к главе III
1. Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии автокорреляционных связей в ряду ошибки t?
2. Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии гетероскедастичности ошибок?
3. Каковы последствия автокорреляции и гетероскедастичности ошибок?
4. В чем суть обобщенного МНК (ОМНК)?
5. Как определяется ковариационная матрица ОМНК-оценок параметров?
6. Каковы предпосылки обобщенного метода максимального правдоподобия?
7. В чем суть двухшагового МНК Дарбина?
8. В чем суть взвешенного МНК?
9. В чем суть метода инструментальных переменных?
Упражнения к главе III Задание 3.1
Для обобщенной линейной регрессионной модели
yt =0+ 1 хt +t (t=1,...,Т)
имеется T=10 пар наблюдений, которые представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
хt |
8 |
10 |
12 |
16 |
20 |
20 |
24 |
28 |
30 |
36 |
yt |
6,8 |
6,9 |
7,3 |
7,4 |
8,6 |
8,0 |
8,8 |
8,0 |
9,9 |
10,3 |
Требуется:
1. Определить оценки обобщенного МНК для параметров модели, исходя из того, что имеется “чисто” гетероскедастичная модель с известными дисперсиями ошибки. Они составляют
0,04; Если 5,0 хt 15,0;
0,16; Если 15,0 хt 25,0;
1,00, Если 25,0 хt 40,0.
2. Оценить параметры модели классическим МНК. Определить ошибку, которая возникает из-за неправильной спецификации модели.
3. Определить для описанной в п.1 ситуации ковариационную матрицу оценок параметров, полученных обобщенным МНК.
4. Определить ковариационную матрицу оценок параметров, полученных классическим МНК.
Задание 3.2
Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии. Дисперсии ошибок t (t=1,...,T) обозначим t2.
Tребуется:
1. Показать, что оценки обобщенного МНК для параметров регрессии 0 и 1 рассчитываются следующим образом:
2. Определить ковариационную матрицу вектора оценок, полученного обобщенным МНК.
3. Показать, что в частном случае “чистой” гомоскедастичности вектор оценок, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором оценок, полученным классическим МНК.
Задание 3.3
Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии
yt =0+ 1 хt +t (t=1,...,Т),
дисперсия
ошибки которой 
.
Требуется:
1. Определить для этой модели ковариационную матрицу ошибок, а также матрицу Т, с помощью которой модель может быть преобразована в классическую.
2. Перейти к преобразованной модели и определить на ее основе оценки параметров регрессии 0 и 1.
3. Определить оценку параметра 2 для данной модели.
Задание 3.4
Имеется линейное однофакторное уравнение регрессии
yt =0+ 1 хt +t (t=1,...,Т),
а также 10 пар наблюдений переменных (хt, yt), которые представлены в табл. 3.2
Таблица 3.2
хt |
2,0 |
2,4 |
11,0 |
8,0 |
5,6 |
6,2 |
4,5 |
9,8 |
8,6 |
3,8 |
yt |
4,0 |
5,2 |
4,5 |
4,2 |
4,8 |
8,0 |
7,2 |
12,6 |
8,5 |
4,2 |
Требуется:
1. Определить линию регрессии с помощью гетероскедастичной модели из задания 3.3.
2. Определить линию регрессии на основе классической модели.
3. Изобразить обе линии регрессии и фактические данные на диаграмме рассеяния и сравнить их друг с другом.