3.3. Метод инструментальных переменных

Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место (теоретически допускаются) корреляционные взаимосвязи между независимыми переменными x_it и ошибкой _t, теория  рекомендует подходы и методы, основанные на использовании инструментальных переменных.

Напомним, что в тех случаях, когда некоторые столбцы матрицы значений независимых переменных Х и вектор-столбец ошибки   взаимосвязаны между собой, математическое ожидание второго слагаемого в правой части выражения (2.9) отлично от нуля, M[(ХХ)^–1Х]0, и, следовательно, например, оценки МНК параметров модели, определяемые согласно известному выражению а=(ХХ)^–1Ху, оказываются смещенными, поскольку

 

M[–а]= M[(ХХ)^–1 Х]0.                      (3.51)

 

Заметим, что появление смещения у оценок МНК всех параметров моделей вызывает присутствие только одной независимой переменной, например, x_i,  связанной с ошибкой . В этом случае непосредственно видно, что произведение Х=(0,..., 0, с_i, 0,...,0), где константа    стоит на месте, соответствующем i-й  переменной, и, таким образом, имеем      (ХХ)^–1=с_i(s_0i,s_1i,...,s_ni)= =с_is_i, где s_ji   – j-й элемент i-го столбца s_i   матрицы (ХХ)^–1. Из полученного результата вытекает, что в соответствии с выражением (2.9) имеем а=+ с_is_i. Из чего следует, что смещенными оказываются все оценки коэффициентов модели.

В эконометрике обычно исследуются асимптотические свойства оценок параметров моделей. В этом случае, если в пределе при Т существует зависимость между столбцами матрицы Х и ошибкой модели , т. е.

 

 

то оценки МНК параметров эконометрической модели являются несостоятельными  (а, следовательно, и асимптотически смещенными).

 Это непосредственно вытекает из того факта, что второе слагаемое в правой части выражения

 

plim(a)=

 

отлично от нуля, поскольку из начальных условий (предположений) (2.42) вытекает, что 

Использование инструментальных переменных теоретически позволяет устранить отрицательные последствия взаимосвязей независимых переменных и ошибки модели , связанные с несостоятельностью оценок МНК параметров линейных эконометрических моделей.

Формально, без излишней строгости, выражение для вектора оценок МНК параметров эконометрической модели с использованием инструментальных переменных  может быть получено следующим образом.

Предположим, что существуют так называемые “инструментальные” переменные z_i, число которых в общем случае совпадает с числом независимых факторов модели х_i, i=1,2,..., n;  и при t=1,2,..., Т, каждая из которых характеризуется нулевыми корреляционными взаимосвязями с ошибкой эконометрической модели . При заданном Т матрица значений инструментальных переменных Z имеет такой же размер, как матрица Х.

Умножим слева векторно-матричное уравнение на матрицу у=Х+ на матрицу Z. Получим

 

Zу=ZХ+Z,                                  (3.53)

 

С учетом того, что M[Z]=0, умножая выражение (3.53) слева на (ZХ)^–1, непосредственно имеем

 

a_z =(ZХ)^–1Zу,                             (3.54)

 

где a_z   – вектор оценок параметров эконометрической модели, полученный с использованием инструментальных переменных.

Результат (3.54) можно получить и традиционным путем. Для этого обозначим у_*=Zу; Х_*=ZХ; _*=Z. В этом случае выражение (3.53) имеет традиционный для эконометрической модели вид:

 

у_*=Х_*+_*.                              (3.55)

 

Используя для модели (3.55) традиционный для МНК критерий минимума суммы квадратов ошибки

 

s_*²=(_*,_*)=(ZZ)=(Zу – ZХ)(Zу – ZХ)min   (3.56)

 

и приравнивая вектор производных показателя s_*² по вектору параметров   к нулю,  , непосредственно получим следующее выражение для вектора оценок этих параметров:

 

a_z =(ХZ ZХ)^–1 ХZZу.                             (3.57)

 

Далее, принимая во внимание, что произведения матриц ХZ и ZХ равны между собой, т. е. ХZ=ZХ, выражение (3.57) несложно привести к виду (3.54).

 

a_z=(ХZZХ)^–1ХZZу=(ХZ)^–1(ХZ)^–1ХZZу=(ХZ)^–1Zу=

=(ZХ)^–1Zу.

 

Покажем также, что при наличии у матрица Z размерностью Т(п+1) в пределе при Т следующих свойств:

 

plim  Z)=0;                               (3.58)

plim  ZХ)=_ZХ;                               (3.59)

plim  Z Z)=_ZZ,                               (3.60)

 

где матрицы _ZХ и _ZZ существуют и не вырождены, оценки параметров эконометрической модели, определенные выражением (3.54), являются состоятельными.

Для этого, как и при выводе выражения (2.9), подставим вместо вектора у в формулу (3.54) у=Х+. Получим

 

a_z=+(ZХ)^–1Z,                             (3.61)

 

В пределе при Т имеем

 

plima_z =+plim ZХ)^–1 plim Z)=+^–1_ZZ0=.    (3.62)

 

Обратим внимание на некоторые свойства оценок параметров, полученных с использованием инструментальных переменных на основе выражения (3.54).

В частности, отметим, что в общем случае эти оценки являются неэффективными. В самом деле, вид ковариационной матрицы ошибки _*=Z  модели (3.53) свидетельствует о наличии в ее ряду автокорреляционных зависимостей даже в том случае, когда эти зависимости отсутствовали у ошибки :

 

Cov(_*)=M[_*,_*]=M[ZZ)=_(ZZ).         (3.63)

 

В этом случае ковариационная матрица оценок a_z параметров модели (3.53)  имеет следующий вид:

 

Cov(a_z)=M[(a_z –)(a_z –)]= M[(ZХ)^–1ZZ(ZХ)^–1]=

=_²(ZХ)^–1ZZ(ZХ)^–1,                       (3.64)

 

где дисперсия ошибки _² на практике может быть оценена на основании следующего выражения:

 

 

В пределе при Т с учетом предположений (3.59) и (3.60) можно определить асимптотическую ковариационную матрицу оценок a_z  на основании следующего выражения:

 

asy.var(a_z)=  plim[T(a_z –)(a_z –)]=

= plim[T(ZХ)^–1ZZ(ХZ)^–1]=

= plim( ZХ)^–1)plim( ZZ)plim( ХZ)^–1=

= _²^–1_ZХ_ZZ^–1_ZХ.                          (3.66)

 

Для получения эффективных оценок на базе инструментальных переменных можно использовать обобщенных МНК. Для ковариационной матрицы ошибок модели, определенной выражением (3.63), оценки коэффициентов, полученные с использованием этого метода, определяются на основании следующего выражения, вытекающего из формулы (3.57):

 

a_z.0=(ХZ(ZZ)^–1ZХ)^–1ХZ(ZZ)^–1у=(ХР_z Х)^–1ХР_zу,      (3.67)

 

где Р_z = Z(ZZ)^––1.

Несложно показать, что ковариационная матрица оценок обобщенного МНК для инструментальных переменных имеет следующий вид:

 

Сov(a_z.0)=_²(ХР_z Х)^–1,                         (3.68)

 

где на практике дисперсия ошибки _² определяется следующим выражением:

 

 

Вектор оценок a_z.0, полученный на основании формулы (3.67) является асимптотически несмещенным. Это следует из выражения:

 

a_z.0=+( ХР_z Х)^–1( ХР_z ε),                         (3.70)

где

(ХР_z Х)=( ХZ)(  ZZ) ^–1(  ZX),

(ХР_z )=( ХZ)(  ZZ) ^–1(  Z).

 

Переходя в выражении (3.70) к пределу при Т, с учетом свойств (3.58)–(3.60) получим

 

plima_z.0=+( _Х Z^–1_ZZ_ZХ)^–1_ZХ^–1_ZZ0=.              (3.71)

 

Однако заметим, что на практике обобщенный МНК для оценки параметров моделей с инструментальными переменными применяется не часто. Это связано с тем, что дисперсии оценок их параметров, полученных на основе выражения ( .41), при удачном подборе инструментальных переменных увеличиваются не столь значительно, и такую потерю эффективности во внимание можно не принимать.

В самом деле, если инструментальные переменные z_i   характеризуются достаточно сильной корреляционной связью (коэффициент парной корреляции _z,x1) с соответствующими независимыми переменными х_i, то при одинаковых масштабах этих переменных произведения матриц ZZ и ZX  будут приблизительно равными между собой и в этом случае, как это следует из выражения (3.64),

 

Cov(a_z)_²(ZХ)^–1_²(ХХ)^–1.                       (3.72)

 

И, наоборот, если переменные z_i и х_i  слабо взаимосвязаны между собой, то диагональные элементы матрицы (ZХ)^–1  в силу того, что определитель ZХуменьшается, существенно возрастают. В этом случае при использовании выражения (3.54) за несмещенность оценок приходится платить падением их эффективности. Этот вывод достаточно очевиден при рассмотрении однофакторной модели y_t=₀+₁x_t+_t, при оценке параметров которой используется инструментальная переменная z_t.

Несложно видеть, что оценка коэффициента ₁ в этом случае согласно выражению (3.54) определяется по следующей формуле:

 

 

а выборочная дисперсия этой оценки по формуле:

 

 

где дисперсия _² определена выражением типа (3.65) при п=1.

Из выражения (3.73) непосредственно видно, что при слабой зависимости между переменными х_t  и z_t   его знаменатель уменьшается (в пределе до нуля), и выборочная дисперсия параметра a_z   может стать как угодно большой.

Вследствие этого на практике инструментальные переменные z_i  стремятся выбирать согласно следующему правилу: переменные z_i   должны иметь сильные корреляционные связи с соответствующими переменными х_i   и быть независимыми по отношению к ошибке модели .

Выполнение этого правила в эконометрических исследованиях реальных процессов, для которых характерной чертой является корреляционная связь между независимыми факторами и ошибкой, достигается с помощью некоторых специальных приемов, правил формирования инструментальных переменных. Эти правила будут рассмотрены в соответствующих разделах данного учебника (см. главы V и VIII).

В заключении данного раздела рассмотрим некоторые особенности формирования матрицы инструментальных переменных Z. Очевидно, что общее число таких переменных должно быть равно количеству независимых факторов в модели. При этом, если какая-либо из переменных х_i  оказывается не  связанной с ошибкой , то она сама может выступать в качестве “инструментальной” переменной. В результате матрицу Х можно представить в следующем виде:

 

Х=[Х₁Х₂],

 

где подматрица Х₁ объясняет переменные, независимые по отношению к ошибке модели , а подматрица Х₂  – зависимые.

В этом случае матрица Z  имеет следующий вид:

 

Z=[Х₁ Z₂],

 

 

где Z₂ подматрица инструментальных переменных, замещающих независимые факторы, образующие матрицу Х₂.

Заметим также, что выражение Z(ZZ)^–1ZХ=Р_zХ= , используемое в формуле (3.67), может рассматриваться как матрица расчетных значений факторов х_it, полученных как оценки зависимых переменных при использовании в качестве независимых факторов инструментальных переменных z_i, i=1,2,..., п. В самом деле, выражение (ZZ)^–1Zх_i определяет оценки коэффициентов следующей модели:

 

 

и, таким образом, (ZZ)^–1ZХ=B, где B – матрица оценок коэффициентов моделей типа (3.74) для i=1,2,... п; имеющая следующий вид:

 

 

Тогда матрица ZB=  представляет собой матрицу расчетных значений независимых факторов исходной модели, полученных в результате их выражения эконометрическими моделями типа (3.74) в зависимости от выбранных значений инструментальных переменных.

Отметим также, что если значения инструментальных переменных и независимых факторов исходной модели равны между собой, т. е. Z =X, тогда  =Х(ХХ)^–1ХХ=Х.

С учетом этого равенства получим, что при частичной замене исходных факторов на инструментальные переменные матрица Z будет иметь следующий вид:

 

Z=[Х₁  ],

 

где  =Z(ZZ)^–1 ZХ₂ и Z=[Х₁ Z₂].