Задание 2.11

Имеется линейная классическая нормальная модель множественной регрессии

y_t  = ₀ + ₁ х_1t +...+_n х_nt +_t.

 

Требуется:

1.   Рассмотреть функцию плотности распределения вектора “истинной” ошибки  и показать, что из того, что вектор  имеет нормальное Т-мерное распределение, следует, что отдельные ошибки _t  (t=1,2,...,Т) являются независимыми друг от друга и нормально распределенными с параметрами M[_t]=0 иD[_t]=_² .

2.   Определить, как распределен вектор эндогенных переменных y, и какова функция плотности распределения этой переменной.

3.   Показать, что вектор оценок a, полученный обычным МНК, является оценкой максимального правдоподобия для . 

4.   Определить, как распределен вектор оценок a, и какова функция плотности распределения этого случайного вектора.

 

Задание 2.12

Имеется классическая линейная модель множественной регрессии, записанная в отклонениях,

 

где   _t^*– стохастическая ошибка.

Требуется:

1.   Показать, что  форма этой модели эквивалентна форме классической линейной модели множественной регрессии

 

y_t  = ₀ + ₁ х_1t +...+_n х_nt + _t.

 

2.   Определить вектор оценок параметров a^*  =( a₁^* ,..., a_n^* ).   

3.   Построить ковариационную матрицу вектора оценок a^*.

 

Задание 2.13

Имеется классическая линейная модель множественной регрессии, записанная в отклонениях,

 

Требуется:

1.   Показать, что для значений a₍₀₎ =( a₁ ,..., a_n ) выполняется следующее соотношение:

 

a₍₀₎ =( Х^* Х^*)^–1 Х^* у^*.

 

2.   Показать, что значение может быть определено по следующей формуле:

где 

 

Задание 2.14

Экзогенные переменные линейного уравнения множественной регрессии претерпевают следующие преобразования:

 

 

где c_1iR, c_2i 0,  i=1,..., n.

Требуется:

1.   Показать, что МНК-оценки параметров регрессии a₍₀₎^p=(a₁^p,..., a_n^p) после таких преобразований определяются по следующим формулам:

 

где 

 

2.   Показать, как изменятся МНК-оценки a₍₀₎=(a₁,..., a_n), если от исходных экзогенных переменных перейти к стандартизованным переменным.

3.   Показать, что для ковариационной матрицы вектора оценок a₍₀₎^p   выполняется следующее соотношение:

 

Cov(a₍₀₎^p) = C²  Cov(a₍₀₎).

 

4.   Показать, что в результате такого линейного преобразования не меняется оценка дисперсии ошибки.

 

 

 

Задание 2.15

Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х₁) и дохода домохозяйства (х₂). Соответствующая информация представлена в табл. 2.2.

Таблица 2.2

yt	31,4	30,4	32,1	31,0	30,5	29,8	31,1	31,7	30,7	29,7
х1t	4,1	4,2	4,0	4,6	4,0	5,0	3,9	4,4	4,5	4,8
х2t	1050	1010	1070	1060	1000	1040	1030	1080	1050	1020

 

Требуется:

1.   Оценить с помощью МНК параметры линейного двухфакторного уравнения

 

y_t  = ₀ + ₁ х_1t +₂ х₂ + _t

 

и интерпретировать оценки.

2.   Оценить дисперсию ошибки _².

3.   Рассчитать оценку математического ожидания  при х₁=5,5 и х₂=980.