3.Оценка коэффициента корреляции по данным выборки

Коэффициент корреляции _XY для генеральной совокупности, как правило, не­известен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляю­щим собой выборку объема n пар значений (х_i, y_i). Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции.

В качестве оценки коэффициента корреляции в генеральной совокупности _XY используется выборочный коэффициент корреляции Браве - Пирсона . Для его вычисления принимается предположение о двумерном нормальном распреде­лении признаков Х и Y в генеральной совокупности, из которой получены экспе­риментальные данные. Это предположение может быть проверено с помощью со­ответствующих критериев согласия.

Нормированный коэффициент корреляции Браве – Пирсона вычисляется по формуле , (3)

Где , .

4. Оценка значимости коэффициента корреляции

Если выборочный коэффициент корреляции отличен от нуля, то, учитывая случайность выборки, еще нельзя сделать вывод о том, что и коэффициент корре­ляции для генеральной совокупности тоже отличен от нуля. Для проверки су­щественности (значимости) корреляционной связи двух признаков в генеральной совокупности используют t-критерий Стьюдента.

Условия применения t – критерия: предположение о двумерном нормальном распределении признаков Х и Y в генеральной совокупности, из которой получе­ны выборочные данные.

Гипотеза Но: =0 – в генеральной совокупности отсутствует корреляция, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только слу­чайностью выборки.

Альтернатива Н₁: 0.Уровень значимости: .

Порядок применения t – критерия Стьюдента:

1. Получают выборку объемом n пар значений (х_i,у_i).

2. Определяют выборочный коэффициент корреляции .

1. Вычисляют практическое значение t – критерия

. (4)

2. По таблице распределения Стьюдента по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы k = n - 2 находят значение критической точки

t_кр=t_{(/2, k)}.

5. Сравнивают |t_пр| и t_кр. Если |t_пр|  t_кр, то гипотеза Н_о: _XY = 0 принимается и делается вывод об отсутствии значимой корреляции признаков Х и Y в генеральной совокупности. Если |t_пр| > t_кр, то Н_о отклоняется, т.е. _XY значимо отличается от нуля и признаки Х и Y коррелированны, а, значит, и зависимы.

Примечание. Чтобы упростить применение t-критерия, составлена таблица критических значений _ коэффициента корреляции. При наличии этой таблицы отпадает необходимость в вычислениях по формуле (4). Достаточно просто срав­нить выборочный коэффициент корреляции с критическим значением _ при уровне значимости  и объеме выборки n. Если окажется, что | |<_, то гипоте­за Н_о принимается и делается вывод об отсутствии значимой корреляции признаков Х и Y в генеральной совокупности. Если | |>_, то гипотеза Н_о отклоняется. Для двустороннего критерия это означает, что коэффициент корреляции статистически значимо отличается от нуля на уровне значимости , для одностороннего критерия делается вывод о наличии значимой положительной или отрицательной корреляции признаков Х и Y в гене­ральной совокупности. Заметим, что таблица Приложения содержит критические значения для двустороннего t-критерия.