Лабораторная работа №5. Корреляционно-регрессионный анализ

1. Общие понятия и определения

Рассмотрим взаимосвязь двух случайных величин Х и Y.

Стохастической называется такая связь двух случайных величин, когда каж­дому значению одной случайной величины соответствует множество значений другой случайной величины, или, если одна случайная величина реагирует на из­менение другой случайной величины изменением своей функции (или плотности) распределения вероятности.

Например, связь между объемом продажи товара и затратами на рекламную кампанию, урожаем и внесенными удобрениями, между численностью персонала фирмы и уровнем ее доходов и т.п.

Корреляционной называется частный случай стохастической связи, когда одна случайная величина реагирует на изменение другой случайной величины изменением своего математического ожидания, т.е.

М [Y/Х=х] = f(х) или М[Х/Y=у] = f(у), где М [Y/Х=х] - математическое ожидание случайной величины Y при условии, что случайная величина Х приняла конкретное значение х , т.е. условное математическое ожидание случайной величины Y, М[Х/Y= у] - условное математическое ожидание случайной величины Х .

Функция f(х) называется функцией регрессии Y на X, а ее график - линией регрессии Y на X, соответственно f(у) - функция регрессии Х на Y.

Функция регрессии может быть линейной М [Y/Х=х] = а+bх или нелиней­ной. Соответственно различают линейную и нелинейную корреляционную связь.

Существует еще одна достаточно важная характеристика корреляционных связей с точки зрения количества взаимодействующих случайных величин. Если характеризуется связь двух случайных величин, то ее принято называть парной. Если изучается взаимосвязь более чем двух переменных, то рассматривают множественную корреляционную связь.

По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристи­ка выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи.

В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характери­стике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения приме­няются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляци­онного анализа, а другая - регрессионный анализ.

Задачи собственно корреляционного анализа сводятся к измерению силы связи между варьирующими случайными величинами (признаками), определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

2. Оценка силы корреляционной связи

Для этого служит коэффициент корреляции K_XY, определяемый как K_XY=М[XY]-М[X]М[Y]. Он является числовой характеристикой силы линейной корреляционной связи двух случайных величин Х и Y.

Если случайные величины Х и Y независимы, то K_XY = 0. Следовательно, если K_XY0, то Х и Y - зависимые случайные величины. Знак K_XY указывает на на­правление корреляционной связи. Если K_XY>0, то с возрастанием Х возрастает в среднем и Y, т.е. корреляция между величинами X и Y положительная. Если K_XY<0, то при возрастании X величина Y в среднем убывает, т.е. корреляция отрицательная.

Числовые значения K_XY зависят от выбора единиц измерения случайных величин X и Y, что затрудняет сравнение коэффициентов корреляции различных пар случайных величин.

Вследствие этого вводят другую числовую характеристику линейной связи между X и Y, лишенную этого недостатка – нормированный коэффициент корреляции _XY: . (1)

Из свойств нормированного коэффициента корреляции отмечают:

1. Нормированный коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1 до 1: -1_XY1. (2)

2. Если _XY = 0, то Х и Y не связаны линейной корреляционной зависимостью, т.е. некоррелированы, но могут быть зависимы, даже связаны функционально, но только не линейной связью.

3. Если Х и Y - нормально распределенные случайные величины, то из _XY=0 следует, что Х и Y - независимые случайные величины.

4. Если |_XY| = 1, то связь линейная функциональная.

Если |_XY|  1, но близок к 1, то корреляционная зависимость будет близка к линейной.

Абсолютное значение |_XY| используется как характеристика силы линейной связи между двумя случайными величинами Х и Y, т.е. степени близости корре­ляционной зависимости к линейной. Если |_XY|  0,7, то линейная связь сильная, если 0,3  |_XY| < 0,7 - средняя, если 0 < |_XY| < 0,3 - слабая.

Для линий регрессии, не являющихся прямыми, _XY может лишь с некоторым приближением рассматриваться как показатель силы связи между Х и Y.

Модель двумерного нормального распределения позволяет дать наглядную графическую интерпретацию значений коэффициента корреляции _XY.

Е сли _XY=0, то значения х_i, у_i, полученные из двумерной нормальной сово­купности, располагаются на графике в координатах х, у в пределах области, огра­ниченной окружностью (рис. 1.а). В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция, и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновремен­но и независимость случайных величин Х и Y.

Рис. 1

При _XY=1 или _XY=-1 между случайными величинами X и Y существует линейная функциональная зависимость. В этом случае говорят о полной корреляции (рис. 1.б). При _XY=1 значения х_i, y_i определяют точки, лежащие на пря­мой линии, имеющей положительный наклон (с увеличением x_i значения y_i также увеличиваются), при _XY=-1 прямая имеет отрицательный наклон (с увеличением y_i значение x_i уменьшается).

В промежуточных случаях (-1<_XY<1) точки, соответствующие значениям x_i,у_i, попадают в область, ограниченную некоторым эллипсом (рис. 1.в, г), причем при _XY>0 имеет место положительная корреляция (с увеличением х_i значения у_i имеют тенденцию к возрастанию), при _XY<0 корреляция отрицательная. Чем ближе _XY к ± 1, тем уже эллипс и тем теснее экспериментальные значения груп­пируются около прямой линии.