4. Тригонометрические подстановки.
Интегралы вида
приводятся к интегралам от рациональной
относительно
и
функции с помощью соответствующей
тригонометрической подстановки:
для первого интеграла
(или
),для второго
(или
);для третьего
(или
).
Например, найдем
интеграл
.
Данный интеграл соответствует первому виду.
Положим
,
тогда
и
исходный интеграл примет вид
.
Для нахождения
интеграла
мы воспользовались формулой
,
так как с ее помощью легче перейти к
прежней переменной
.
Таким образом, получаем
,
где
.
Следовательно,
Примеры решения задач к главе 4
Пример 5.1. Найдем
интеграл
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию и применим непосредственное интегрирование
Пример 5.2. Найдем
интеграл
Решение. Так
как производная
,
то внесем
под знак дифференциала
Пример 5.3. Найдем
интеграл
Решение.
Так же как и в предыдущем примере,
выражение
можно записать как
поэтому
Пример 5.4. Найдем
интеграл
Решение.
Здесь
поэтому данный интеграл представляем
в виде:
.
Внеся под знак дифференциала, получим
т. е. переменной интегрирования является 3соs х.
Следовательно, интеграл берется по формуле VI:
Пример 5.5. Найдем
интеграл
Решение. Произведем подстановку
,
т. е.
.
Найдем
дифференциал
Отсюда получаем
Пример 5.6. Найдем
интеграл
Решение.
Произведем
подстановку
тогда
.
Выразим
и найдем
Подставив в исходный интеграл, получим
Применив формулу XVIII, получим
Подставив
в исходный интеграл, получим
Найдем
интеграл
Решение.
Произведем
подстановку
;
тогда —
т. е.
.
Подставив
в исходный интеграл, получим
(использовали формулу XX).
Пример 5.7. Найдем
интеграл
Решение.
Применим
подстановку
;
тогда
,
,
тогда
(см. формулу XXI).
Итак,
Пример 5.8.
Найдем
интеграл
Решение. Преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат
.
Произведем
подстановку
;
тогда
.
Отсюда
,
(см. формулу XVIII).
Таким образом,
Пример 5.9.
Найдем
интеграл
Решение. Положим
,
тогда
и
(применили формулу ХIX).
Итак,
Пример 5.10.
Найдем
интеграл
Решение.
Пусть
,
,
тогда
,
.
По формуле интегрирования по частям находим
Пример 5.11.
Найдем
интеграл
Решение. Положим
,
;
тогда
,
.
Применяем формулу интегрирования по частям:
Мы добились понижения степени х на единицу.
Чтобы
найти
,
применим еще раз интегрирование по
частям.
Полагаем
,
;
тогда
,
Пример 5.12.
Найдем
интеграл
Решение. Применяем формулу интегрирования по частям.
Пусть
,
;
тогда
,
.
Следовательно,
Еще раз проинтегрируем по частям.
Приняв
,
,
откуда
,
.
Получаем
т. е.
Применив дважды формулу интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I. Из этого уравнения находим
т. е.
Такого вида интегралы носят название «круговые».
Пример 5.13.
Найдем
интеграл
если
Решение. Положим
,
,
откуда
,
.
Следовательно,
или
Выразим данный интеграл из полученного равенства
Пример 5.14.
Найдем
интеграл
Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции и проинтегрируем
Пример 5.15.
Найдем
интеграл
Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции и проинтегрируем
Пример 5.16.
Найдем
интеграл
Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции
В
первом интеграле произведем замену
,
,
а во втором интеграле положим
,
.
Отсюда
Возвращаясь к старой переменной, получаем
Пример 5.17.
Найдем
интеграл
Решение. Дан интеграл от иррациональной функции 1-го вида.
Здесь
поэтому
.
Применим подставку
;
тогда
и, следовательно,
Возвратимся к
старой переменной. Так как
,
то
Пример 5.18.
Найдем
интеграл
.
Решение. Данный интеграл от иррациональной функции 2-го вида. Преобразуем подкоренное выражение и внесем под знак дифференциала:
Пример 5.19.
Найдем
интеграл
.
Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения:
Пример 5.20.
Найдем
интеграл
.
Решение. Дан интеграл от тригонометрической функции.
Так как подынтегральная
функция нечетна относительно синуса,
то полагаем
.
Отсюда
.
Таким образом,
.
Следовательно,
.
Пример 5.21.
Найдем
интеграл
.
Решение. Дан интеграл от тригонометрической функции. Применим формулу (3)
.
Пример 5.22.
Найдем
интеграл
Решение.
Применим к произведению
формулу (2):
Снова используя ту же формулу, находим
