5.8. Интегрирование простейших иррациональных функций
1. Интегралы вида
где
– рациональная функция ;
– целые числа.
С помощью подстановки
,
где
-
наименьшее общее кратное чисел
указанный интеграл преобразуется в
интеграл от рациональной функции.
2. Интервалы вида
.
Такие интегралы путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам.
Например,
найдем
интеграл
.
Преобразуем
квадратный трехчлен к виду
.
Тогда
3. Интегралы вида
.
Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов:
.
4. Интегралы вида
.
С помощью подстановки
этот интеграл проводится к рассмотренному
в п.2.
5. Интегралы вида
,
где
– многочлен
-й
степени.
Интеграл такого вида находится с помощью тождества
,
где
– многочлен
-й
степени с неопределенными коэффициентами,
число.
Дифференцируя
указанное тождество и приводя результат
к общему знаменателю, получим равенство
двух многочленов, из которого можно
определить коэффициенты многочлена
и число
.
5.9. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида
,
где
– рациональная функция.
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой универсальной тригонометрической подстановки
.
В результате этой подстановки имеем:
Например,
найдем
интеграл
Подынтегральная
функция рационально зависит от
и
;
применим подстановку
,
тогда
и
.
Возвращаясь к старой переменной, получим
.
В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено.
1. Если
– нечетная функция относительно
,
т.е. если
,
то интеграл рационализируется подстановкой
.
2. Если
– нечетная функция относительно
,
т.е. если
,
то интеграл рационализируется подстановкой
.
3. Если
– четная функция относительно
и
,
т.е. если
,
то к цели приводит подстановка
.
Например, найдем
найти интеграл
.
Здесь подынтегральная функция является нечетной относительно косинуса. Поэтому применим подстановку
;
тогда
,
.
Следовательно,
.
Так как
,
то
.
Окончательно получаем
.
2. Интегралы вида
.
Рассмотрим два случая.
Случай 1.
Хотя бы один из показателей
или
– нечетное положительное число.
Если – нечетное положительное число, то применяется подстановка .
Если
– нечетное положительное число, то
подстановка
.
Например, найдем
интеграл
.
Полагая
,
получим
.
Случай 2. Оба показателя степени и – четные положительные числа. Здесь следует преобразователь подынтегральную функцию с помощью формул
Например, найдем
интеграл
.
Из формулы (1) следует, что
.
Применим теперь формулу (2), получаем
.
Итак,
.
3. Интегралы вида .
При нахождении таких интегралов необходимо применять следующие тригонометрические формулы
Они дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.
Например, найдем
интеграл
.
Используя формулу (1), получим
.