5.6. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

,

где , – непрерывно дифференцируемые функции от х.

С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла .

Применение формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Правила применения формулы интегрирования по частям.

1. Для интегралов вида

, , ,

где Р(х) – многочлен, за u следует принять Р(х), а за – соответственно выражения , , .

2. Для интегралов вида

, , ,

за u принимаются соответственно функции lnх, arcsinх, arccosх, а за – выражение

Например, найдем интеграл

Применяем правило 1. Положим

, ; тогда , .

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

Если бы выражения u и мы выбрали иначе, например , , то получили бы , , откуда

и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень сомножителя при тригонометрической функции повысилась на единицу.

Например, найдем интеграл

Применяем правило 2. Положим

, ; тогда , .

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

5.7. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) ниже степени многочлена Q(х), в противном случае дробь называется неправильной.

Интегрирование простейших дробей.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I.

II. , где m – целое число, большее единицы;

III. , где , т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

IV. , где n – целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа.

Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем

I.

II.

III.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа получаем

или

где , (здесь ), откуда

Например, найдем интеграл

Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и проинтегрируем:

Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа.

Требуется найти .

Выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

Тогда

В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому

так как для любого значения х.

Второй интеграл, как уже был отмечено, находится по формуле

Итак,

Например, найдем интеграл

Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV типа.

Требуется найти

Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью подстановки , а второй преобразуем так:

Полагая теперь , и обозначая , получаем

Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть выполнено с помощью рекуррентной формулы.

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.

Перед интегрированием рациональной дроби Р(x)/Q(х) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде

где М (х) – многочлен, a – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

где , т. е. трехчлен имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

4) вычислить неопределенные коэффициенты

для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби исходный интеграл сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Например, найдем интеграл

Так как каждый из двухчленов , , входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:

Освобождаясь от знаменателей, получим

Следовательно,

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений

из которой найдем , , .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом,