Раздел III. Интегральное исчисление
Глава 5. Неопределенный интеграл
5.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
Функция
называется первообразной
функцией для
функции
,
если
или
.
Если
функция
имеет первообразную
,
то
она имеет бесконечное множество
первообразных, причем все первообразные
содержатся в выражении
,
где
С
–
постоянная.
Например,
для функции
функция
является первообразной, т.к.
,
т.е.
.
Неопределенным
интегралом
от
функции
(или от выражения
)
называется совокупность всех ее
первообразных.
Обозначение:
.
Здесь
–
знак интеграла,
–
подынтегральная
функция,
–
подынтегральное
выражение, х
–
переменная интегрирования.
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
Например,
т.к.
является первообразной
для
функции
,
то
.
5.2. Свойства неопределенного интеграла
где a
– постоянная.
Если
и
,
то
5.3. Таблица интегралов от основных элементарных функций
Перечислим интегралы от основных элементарных функций, которые в дальнейшем будем называть табличными.
5.4. Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования основан на применении свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов.
Например, найдем интеграл
Используя
свойства
и
,
получаем
К первым трем интегралам правой части применим формулу 3, а к четвертому интегралу – формулу 2:
Свойство 6° позволяет значительно расширить таблицу основных интегралов с помощью интегрирования подведением под знак дифференциала.
Например,
найдем интеграл
Этот интеграл можно привести к формуле 3, преобразовав его следующим образом:
Теперь
переменной интегрирования служит
выражение
и относительно этой переменной получается
интеграл от степенной функции.
Следовательно,
5.5. Метод замены переменной
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
1)
,
где
–
монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной
.
Формула замены переменной в этом случае имеет вид
,
2)
,
где
–
новая переменная.
Формула замены переменной при такой подстановке:
Например,
найдем интеграл
С помощью замены переменной данный интеграл можно сразу свести к табличному.
Полагая
,
имеем,
т. е.
.
Отсюда получаем
Если
интеграл
является табличным, то интеграл
может быть найден с помощью подстановки
Например,
применим эту подстановку к интегралу
Имеем
и
Следовательно,
Возвратившись к старой переменной, получаем
Аналогично можно показать, что
и
т. д.
При
нахождении интеграла
подстановки
можно фактически и не производить. Здесь
достаточно принять во внимание, что
Таким образом,
где
–
первообразная для
.
Полученную формулу часто называют формулой расширения.
Например,
найдем интеграл
Применяя
формулу расширения, имеем:
.
Вообще,
если подынтегральная функция является
произведением двух множителей, один из
которых зависит от некоторой функции
,
а другой является производной этой
функции (с точностью до постоянного
множителя), то целесообразно сделать
замену переменной по формуле
Например,
найдем интеграл
Перепишем данный интеграл в виде
Так
как производная выражения
равна
,
а второй множитель
отличается от этой производной только
постоянным коэффициентом 2, то нужно
применить подстановку
Тогда
Следовательно,
Рассмотрим
интеграл
Числитель дроби есть производная знаменателя.
Произведем
подстановку
Тогда
и
Таким образом, интеграл дроби, числитель которой есть производная знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.
Например,
Здесь
знак модуля опущен, так как
Рассмотрим
интеграл
Положим Тогда и
Заметим,
что данный интеграл можно было найти с
помощью подстановки
