5. Теоретические распределения в анализе вариационных рядов

Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распределения и сопоставления их с теоретическими часто пользуются нормальным распределением, функция которого равняется

где - ордината кривой нормального распределения;

- стандартизованное отклонение;

и - математические постоянные;

- варианты вариационного ряда;

- их средняя величина;

- среднее квадратическое отклонение.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами - средней арифметической и средним квадратическим отклонением . Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действуют вместе. Если ни одна из случайно действующих причин по своему действию не окажется преобладающей над другими, то закон распределения очень близко подходит к нормальному.

Часто возникают распределения, хотя и не отвечающие строго нормальному распределению, но имеющие с ним сходство. Такие сходные черты часто обусловлены тем, что крайние значения вариантов, близкие к , встречаются много реже, чем серединные.

Сопоставление графика эмпирических частот с теоретическими в целях определения соответствия эмпирического распределения нормальному позволяет оценивать эти расхождения только субъективно. Объективная характеристика соответствия может быть получена с помощью особых статистических показателей - критериев согласия. Известны критерии согласия К.Пирсона (хи-квадрат), В.И.Романовского, А.Н.Колмогорова и Б.С.Ястремского.

Критерий согласия Пирсона ( ) вычисляется по формуле:

,

где и - эмпирические и теоретические частоты соответственно.

С помощью величины по специальным таблицам определяется вероятность . Входами в таблицу являются значения и число степеней свободы . На основе выносится суждение о существенности или несущественности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением. При - эмпирическое и теоретическое распределения близки, при совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях - недостаточное.

Критерий Романовского ( ), также используемый для проверки близости эмпирического и теоретического распределений, определяется следующим образом:

,

где - критерий Пирсона;

- число степеней свободы (при проверке гипотезы о нормальности рас­пределения равно числу групп минус три).

При различие несущественно, эмпирическое распределение близко к нормальному.

Критерий Ястремского ( ) можно найти из соотношения:

, где

- объем совокупности;

- дисперсия альтернативного признака;

- число вариантов или групп;

- принимает значение 0,6 при числе вариантов или групп от 8 до 20.

Если , то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

Критерий Колмогорова ( ) вычисляется по формуле:

,

где - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами;

- сумма эмпирических частот.

Необходимым условием использования этого критерия является достаточно большое число наблюдений (не меньше 100).