3. Структурные характеристики вариационного ряда распределения.

В системе структурных показателей в качестве показателей особенностей формы распределения выступают варианты, занимающие определенное место (каждое четвертое, пятое, десятое, двадцать пятое и т.д.) в ранжированном вариационном ряду. Такие показатели носят общее название квантилей, или градиентов.

Некоторые квантили имеют особые наименования: квартили, квинтили, децили и перцентили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квар­тиль нижний , отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний , отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине ; 25% единиц будут заключены между и ; 25% - между и и остальные 25% превзойдут . Вторая квартиль является медианой. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

- нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

- величина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содер­жащему нижний квартиль;

- то же для верхнего квартиля;

- частота интервала, содержащего нижний квартиль;

- то же для верхнего квартиля.

Пример. Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным, характеризующим коммерческие банки по срокам функционирования (табл. 2). Определим номер для 1-го и 3-го квартилей:

Применяя способ расчета, аналогичный медиане по ряду накопленных частот, определим:

Итак, 25% банков имеют срок функционирования менее 3 лет, 25% банков - свыше 3 лет, а остальные имеют срок функционирования в пределах от 3 до 5,3 года.

Квинтили делят распределение на пять равных частей.

Децили - это значения вариант, которые делят ранжированный ряд на 10 равных частей: 1-й дециль делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, 2-й дециль - в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.

Вычисляются децили по той же схеме, что и медиана, и квартили:

, ,……..,

Пример. По табл. 2 рассчитать 1-й и 9-й децили.

Определим номер для 1-го и 9-го децилей:

По ряду накопленных частот определим:

Это означает, что 10% коммерческих банков имеют срок функционирования менее 2 лет, а 90% банков имеют срок функционирования свыше 2 лет.

90% банков имеют срок функционирования меньше 7 лет, а 10% банков имеют срок функционирования свыше 7 лет.

4. Изучение формы распределения

Для обобщающей характеристики особенностей формы распределения применяются кривые распределения. Кривая распределения выражает графически (полигон, гистограмма) закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака. Различают эмпирические и теоретические кривые распределения.

Эмпирическая кривая распределения - это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение.

Теоретическая кривая распределения - это кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения. При этом теоретическое распределение играет роль некоторой идеализированной модели эмпирического распределения, а сам анализ вариационного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и теоретического распределений.

Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой вытянута - правая или левая, различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.

Для однородных совокупностей характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра, равны между собой. Рассчитанные для таких рядов распределений характеристики равны: , , . Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения. При разности между и положительные и асимметрия правосторонняя, а при , наоборот, разности и отрицательные и асимметрия левосторонняя.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии :

или

Правосторонняя асимметрия

Левосторонняя асимметрия

В симметричном распределении центральный момент 3-го порядка , поэтому, чем он больше, тем больше и асимметрия. Эта особенность и используется для характеристики асимметрии. Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента 3-го порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе, т.е.

Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше. Этот показатель асимметрии более точен по сравнению с предыдущими и применяется более широко. Асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25, то незначительной.

Оценка существенности проводится на основе средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии , которая зависит от числа наблюдений п и рассчитывается по формуле:

В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Пример. Вычислить коэффициент асимметрии.

Распределение коммерческих банков по размеру выданных кредитов

Группы банков по размеру кредита, млн. руб. х	Число банков f	Середина интервала
1-6	6	3,5	21	-10	600	-6000
6-11	3	8,5	25,5	-5	75	-375
11-16	11	13,5	148,5	0	0	0
16-21	5	18,5	92,5	5	125	625
21-26	5	23,5	117,5	10	500	5000
Итого	30	-	405	-	1300	-750

На основе полученных данных определим коэффициент асимметрии, для этого определим центральный момент второго и третьего порядков.

Полученный результат свидетельствует о наличии незначительной по величине и отрицательной по своему характеру асимметрии.

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса . Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента 4-го порядка ( ):

Среднеквадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле:

, где n - число наблюдений.

Островершинное распределение

Плосковершинное распределение

В нормальном распределении .

Так как показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, однако их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально-экономических явлений. Например, появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности. Эти показатели позволяют сделать вывод о возможности отнесения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.