6.7 Визначення обсягу вибірки
Щоб забезпечити належну точність вибірки, необхідно заздалегідь, тобто до проведення вибіркового обстеження, обчислити її обсяг.
Обсяг вибірки n визначається із формули граничної похибки вибірки. У разі повторної вибірки ця формула має такий вигляд:
(6.13)
Визначивши із цієї формули n одержимо:
(6.14)
Для безповторної вибірки:
(6.15)
Наведені формули застосовують для визначення необхідної чисельності вибірки у разі виміру середньої величини ознаки у сукупності.
Для обчислення необхідної чисельності вибірки по формулах 6.14-6.15 необхідно мати дані про розмір дисперсії ознаки у генеральній сукупності. Оскільки ці дані відсутні, то використовують наближені значення σ2 та p×q, які визначаються на підставі попередніх обстежень та експертних оцінок. Якщо таких спостережень не було, то іноді проводяться пробні обстеження, на підставі яких визначаються потрібні характеристики сукупності. При визначені частки ознаки у сукупності замість добутку p×q може бути взята величина 0,25, яка є максимальним значенням цього добутку.
Слід зазначити, що безповторyа вибірка потребує при інших рівних умовах, меншу чисельність спостережень для гарантування точності однакової із повторною вибіркою.
Вправи до розділу «Вибірковий метод»
1. Проведено дослідження: а) 20 ферм регіону (з 150), які проводять зрошення за рахунок власних коштів, з метою дослідження використання зрошеної землі, термінів окупності інвестицій і т. п., б) ферми ЧП «Колос» з метою дослідження резервів підвищення зрошення на цьому сільгосппідприємстві. Вибірковим спостереженням є: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
2. При вибірковому дослідженні середнього віку студентів встановлено, що середній вік дорівнює 20 рокам. Похибка вибірки при t=3 для середнього віку студентів дорівнює 1,5 років. На підставі цього з ймовірністю 0,957 можна стверджувати, що середній вік для всіх студентів: 1) дорівнює 21,5 років; 2) більше 21,5 років; 3) не більше 21,5 років; 4) на підставі наведених даних певне ствердження неможливе.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
3. За даними 1%-го вибіркового обстеження бюджетів 100 родин робітників металургійного комбінату: а) середнє число членів родини – 3,2 людини при μ=0,024; б) середнє число робітників в родині – 1,5 людини при μ=0,018. Похибка вибірки: 1) більша для середнього числа членів родини; 2) більша для середнього числа робітників; 3) похибки рівні; 4) дані не дозволяють зробити висновок.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
4. За даними обстеження бюджетів родин міста «Х» середній річний рівень споживання молока 120 кг. при μ=2 кг. з якою ймовірністю можна гарантувати, що середній рівень споживання молока не менше 114 кг. і не більше 126 кг?
Відповіді: 1) 0,954; 2) 0,997, 3) 0,683, 4) 0,900.
5. При підготуванні вибіркового 1%-го обстеження орієнтоване значення дисперсії заробітної плати токарів – 125, слюсарів – 255, фрезерувальників – 245. Токарі складають 20% робітників, слюсарі – 40%, фрезерувальники – 40%. Визначте похибку типової вибірки з ймовірністю 0,954, якщо n=400.
Відповіді: 1) 1,5; 2) 0,75; 3) 1,6; 4) 0,8.
6. При вибірковому обстежені якості продукції в цеху свідомо була виключена частина продукції, яка вироблена низько кваліфікованими робітниками. Результати обстеження містять: а) систематичну похибку реєстрації, б) систематичну похибку репрезентативності.
Відповіді:1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.
7. За даними вибіркового обстеження вільного часу робітників визначили, що середній розмір свобідного часу 5,2 години на день при μ=0,8 годин. На підставі цього з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що середній розмір вільного часу: 1) дорівнює 6 годинам; 2) не менше 6,8 години; 3) не менше 6,8 години і не більше 3,6 годин; 4) не менше 3,6 годин і не більше 6,8 години.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
8. За даними вибіркових вимірів фізичного розвитку 100 хлопчаків дошкільного віку визначилося, що середній зріст трьохлітніх хлопчаків 95 см. при σ=4 см. З якою ймовірністю можна стверджувати, що середній зріст трьохлітніх хлопчаків не менше 93,8 і не більше 96,2 см.
Відповіді: 1) 0,683; 2) 0,900; 3) 0,954; 4) 0,997.
9. За даними 1%-го вибіркового обстеження витрати часу на домашню працю за добу влітку у середньому склали: для чоловіків – =180 хвилин при =4400, для жінок =240 хвилин при =3150. У вибірку потрапили: жінок – 144, чоловіків – 81. Визначте похибку вибірки для середніх витрат часу на домашню працю з ймовірністю 0,954.
Відповіді: 1) 8; 2) 3,8; 3) 11,2; 4) 8,2.
10. При вибірковому обстежені бюджетів родин робітників у окремих родинах не були враховані додаткові виплати (премії, виплати по соціальному страхуванню і т. д.). результати обстеження містять: а) систематичну похибку реєстрації; б) систематичну похибку репрезентативності.
Відповіді: 1) а, б; 2) б; 3) а; 4) –.
11. За результатами вибіркового обстеження (n=300) відсоток слухаючих спортивні новини 64,7 і μ=2,52%. Це значить, що відсоток слухаючих спортивні новини з ймовірністю 0,954 складає: 1) 69,74; 2) більше 69,74; 3) менше 59,66; 4) не менше 59,66.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
12. При зменшені питомої ваги вибірки з 36% до 19% при умові незмінності дисперсії і обсягу вибірки похибка вибірки збільшиться: 1) у 1,9 рази; 2) на 26,6%; 3) на 12,5%; 4) передбачити результат неможливо.
13. За даними 2%-го вибіркового обстеження режиму роботи пресового обладнання (n=100) виявилося, що у першу зміну без простою працює 80% обладнання. З якою ймовірністю можна стверджувати, що доля обладнання, яке працює без простою у першу зміну не менше 72%.
Відповіді: 1) 0,683; 2) 0,900; 3) 0,954; 4) 0,997.
14. У порядку типової вибірки з пропорційним відбором за видами телеграм пропонується встановити середню похибку швидкості доставки телеграм по місту. Необхідно отримати дані з точністю до 1 хвилини і гарантувати з ймовірністю 0,954. Відомі наступні попередні дані за видами телеграм: питома вага термінових телеграм – 40%, звичайних – 60%. Середнє квадратичне відхилення швидкості доставок телеграм відповідно склали 10 хвилин і 15 хвилин. Яка повинна бути чисельність вибірки?
Відповіді: 1) 700; 2) 175; 3) 100; 4) 2500.
15. При вибірковому обстеженні селянських домогосподарств Калужської області 1896 р. спостерігачам дозволялося заміняти намічені планом двори наступними за списком, якщо в момент обстеження господарів цих дворів не було дома. Частіше всього відсутніми були малосіючі родини. Результати обстеження містили: а) систематичну похибку реєстрації; б) систематичну похибку репрезентативності.
Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.
16. В результаті вибіркового обліку купівлі товарів, які здійснюють підприємства та організації різних форм власності вияснилося, що 97% дрібнооптової торгівлі здійснюється за безготівковим розрахунком. Похибка вибірки при t=2 дорівнює 1,8%. На підставі цього з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, доля дрібнооптової торгівлі за безготівковим розрахунком: 1) не менше 98,8%; 2) не більше 95,2%; 3) не менше 95,2% і не більше 98,8%; 4) не менше 98,9% і не більше 95,2%.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
17. За вибірковими даними (1%-ий відбір) питома вага бракованої продукції по першому підприємству склала 3%, на другому – 5%. При однаковій чисельності вибірки похибка вибірки більше: 1) на першому підприємстві; 2) на другому підприємстві; 3) похибки рівні; 4) дані не дозволяють зробити висновки.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
18. За даними вибіркового обстеження тривалості роботи процесорів для n=16 отримали, що середня тривалість роботи 1240 годин при σ=24 години. З якою ймовірністю можна стверджувати, що середня тривалість роботи процесорів не менше 1228 годин і не більше 1252 години?
Відповіді: 1) 0,683; 2) 0,900; 3) 0,954; 4) 0,997.
19.
За даними 2%-го вибіркового обстеження
6 спеціалізованих і 10 неспеціалізованих
магазинів товарообіг у середньому на
1 м2
площі склав: в спеціалізованих магазинах
=1500
грн., при σ2=8200,
в неспеціалізованих
=1100
грн. при σ2=5320.
Визначте похибку вибірки для середнього
товарообігу на 1 м2
площі торгівельного комплексу з
ймовірністю 0,954.
Відповіді: 1) 58, 2) 19, 3) 41, 4) 40.
20. За даними вибіркового обстеження витрат робочого часу їх розмір склав 16% при µ=0,6%. На підставі цього з ймовірністю 0,997 можна стверджувати, що середній розмір витрат робочого часу: 1) не менше 17,8%; 2) не більше 14,2%; 3) не менше 14,2% і не більше 17,8%; 4) не більше 14,2% і не менше 17,8%.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
21. Обстежено 36% продукції підприємства. Похибка випадкової без повторної вибірки менше похибки повторної вибірки на 1) 20%; 2) 36%; 3) 25%; 4) 64%.
Відповіді: 1), 2), 3), 4).
22. Для визначення розміру природного убутку товару «К» шляхом вибіркового добору обстежені 64 рівні за масою партії цього товару. В результаті обстеження визначилося, що середній відсоток природного убутку =0,8% при σ=0,2%. З якою імовірністю можна стверджувати, що відсоток природного убутку товару «К» не перевищує 0,85%?
Відповіді: 1) 0,683; 2) 0,900; 3) 0,954; 4) 0,997.
23. Проведено 2%-ве вибіркове обстеження витрат машинного часу на фрезерних станках-автоматах (n=6) і полу автоматах (n=10). За даними хронометражних замірів середні витрати часу на обробку деталі СК-68 склали: на станках-автоматах – =48 сек. при σ2=6,5 і на полу автоматичних станках – =55 сек. при σ2=2,5. Визначте похибку вибірки для середніх витрат машинного часу на фрезерних станках з ймовірністю 0,954.
Відповіді: 1) 1,5; 2) 0,48; 3) 1,0; 4) 0,75.
24. Сутність вибіркового спостереження полягає у тому, що досліджується деяка сукупність з метою одержання узагальнюючих показників: а) по дослідженій частині сукупності; б) по всій генеральній сукупності. При формуванні вибіркової сукупності дотримання принципу випадковості відбору: в) обов’язкове, г) не обов’язкове.
Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.
25. За даними вибіркового обстеження бюджетів родин робітників галузі вияснилося, що середнє число членів родини 3,2 особи при µ=0,0333. На підставі цього з імовірністю 0,997 можна стверджувати, що середнє число членів родини: 1) дорівнює 3,3; 2) не більше 3,1; 3) не менше 3,3 і не більше 3,1; 4) не менше 3,1 і не більше 3,3.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
26. За даними 2%-го вибіркового обстеження середнього рівня витрат обороту отримали 36 продовольчих магазинів =5,2% при коефіцієнті варіації V=30% для 25 магазинів промислової групи =5,4% при V=30%. Похибка вибірки для середнього рівня витрат обороту: 1) більша по продовольчим магазинам; 2) більша по магазинам промислової групи; 3) похибки рівні; 4) наведені дані не дозволяють зробити висновок.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
27. Середня похибка вибірки для долі браку 2%, доля браку у вибірці 3%. З якою ймовірністю можна стверджувати, що доля браку у генеральній сукупності не перевищує 7%.
Відповіді: 1) 0,683; 2) 0,900; 3) 0,954; 4) 0,997.
28. При доборі робітників для обстеження причин втрат робочого часу на підприємстві навмисно були виключені робітники, які мають скорочений робочий день. Результати обстеження містять: а) систематичну похибку реєстрації; б) систематичну похибку репрезентативності.
Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.
29. За даними вибіркового спостереження родинних бюджетів робітників галузі вияснилося, що середня зарплата голови родини 1800 грн. на рік при µ=6. На підставі цього з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середня річна заробітна плата голови родини: 1) менша 17884 2) більша 1812; 3) не менша 1788 і не більша 1812; 4) не більше 1788 або не менше 1812.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
30. За даними 2%-го добору питома вага невстигаючих студентів на 3 курсі склала 10%, на 2 курсі – 15%. При однаковій чисельності вибірки похибка вибірки для долі невстигаючих студентів більша: 1) на 3 курсі, 2) на 2 курсі; 3) похибки рівні; 4) наведені дані не дозволяють зробити висновок.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
31. З приватної фабрики, яка працює без відділу технічного контролю, на оптовий склад надійшло 1000 пальто. Всі пальто числяться як першосортні, але в результаті контрольної перевірки 100 пальто, відібрані у випадковому доборі (без повторна вибірка), вияснилося, що 2 пальто слід перевести до другого сорту. З якою ймовірністю можна стверджувати, що доля пальто 2 сорту не більша 4,66%.
Відповіді: 1) 0,683; 2) 0,900; 3) 0,954; 4) 0,997.
32. На машинобудівному заводі міста робітники розподіляються по 100 виробничим бригадам. Чисельність робочих бригад однакова. Методом без повторної вибірки відібрано 36 бригад. За даними вибірки середній виробничий стаж робітників – сім років. Меж серійна дисперсія дорівнює 9. Визначте похибку вибірки з ймовірністю 0,954.
Відповіді: 1) 2,4; 2) 0,4; 3) 0,8; 4) 1,0.
33. З метою визначення втрат робочого часу: а) проведений хронометраж роботи робочих бригади з метою визначення затрат часу цими робітниками на виготовлення деталі; б) проведено обстеження робочих двох бригад з 26 бригад цеху. Вибірковим дослідженням є:
Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.
34. При вибірковому обстеженні рівня освіти робітників металургійного комбінату стало відомо, що 60% з них мають дипломи молодших спеціалістів. Похибка вибірки при t=2 дорівнює 4%. На підставі цього можна стверджувати, що доля робітників металургійного комбінату з дипломами молодшого спеціаліста з ймовірністю 0,954: 1) дорівнює 64%; 2) більша 64%; 3) менша 54%; 4) не менша 56 і не більша 64%.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
35. За даними 1% -го вибіркового обстеження бюджетів 100 родин: а) середні витрати на комунальні послуги за рік 1200 грн. при μ=6; б) середні витрати на одяг 4500 грн. при μ=22,5. Похибка вибірки: 1) більша для середніх витрат на комунальні послуги; 2) більша для середніх витрат на одяг; 3) похибки рівні; 4) наведені дані не дозволяють зробити такий висновок.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
36. Проведено 16 проб пшениці, яка поступила до елеватору. Середня вологість у пробах =3,8% при σ=0,4%. Яка ймовірність того, що середня вологість пшениці не вийде за рамки 3,7%-3,9%.
Відповіді: 1) 0,954; 2) 0,683; 3) 0,900; 4) 0,997.
37. У порядку безповторної типової вибірки у фермерських господарствах області досліджено 625 га посіву озимої пшениці сорту «Спартанка» и 625 га сорту «Фантазія». В результаті дослідження встановлено, що відсоток зимової гибелі пшениці «Спартанка» 10% и «Фантазія» – 20%. Досліджена площина складає 19% усієї площини. Визначте похибку вибірки з ймовірністю 0,954.
Відповіді: 1) 1,8%; 2) 0,9%; 3) 2,0%; 4) 3,6%.
38. Проведено дослідження: а) восьми ресторанів міста з метою вивчення санітарного стану; б) шести супермаркетів з 40, з метою вивчення їх ефективності діяльності. Вибірковим спостереженням є:
Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.
39. Відповідно даних вибіркового спостереження норм продуктивності праці на підприємстві встановлено =165% при μ=1%. На підставі цих даних з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що середній відсоток виконання норм продуктивності праці: 1) не більше 166%, 2) не більше 167% і не менше 163%, 3) не менше 167%, 4) не більше 163% і не менше 167%.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
40. По даним 2%-го вибіркового обстеження 100 робітників середній тарифний розряд, робіт які виконуються 3 при коефіцієнті варіації V=40%. По даним хронометражних спостережень (n=25) середні витрати часу на обробку деталі складають 40 хвилин при коефіцієнті варіації V=20%. Похибка вибірки: 1) більша для середнього тарифного розряду роботи; 2) більша для середніх витрат часу на обробку деталі; 3) похибки рівні; 4) дані не дозволяють зробити висновок.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
41. На території району міста у приватному користуванні знаходиться 2250 легкових автомобілів. По даним вибіркового обстеження 225 легкових автомобілів середні витрати палива на рік 3000 літрів при σ=300 літрів. З якою ймовірністю можна стверджувати, що середні витрати палива не менше 2962 літри і не більше 3038 літрів?
Відповіді: 1) 0,954; 2) 0,683; 3) 0,900; 4) 0,997.
42. У Криму на приватному винограднику 15000 кущів. Для обстеження ступеня зараження шкідниками проведено вибіркове обстеження. Для цього виноградники розподілили на 100 рівних частин і за методом випадкової вибірки відібрали 36 ділянок. В результаті їх суцільного спостереження встановлено, що виноградник у середньому заражений на 10%. Визначте похибку вибірки з ймовірністю 0,997.
Відповіді: 1) 0,15; 2) 0,10; 3) 0,05; 4) 0,12.
43. Проведено дослідження: а) робітників чотирьох приватних авто підприємств з перевезення пасажирів у місті (всього 26 таких підприємств) з метою визначення причин текучості кадрів; б) маршрутних таксі з метою вивчення їх технічного стану. Вибірковим спостереженням є:
Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) –.
44. При вибірковому контролі якості жіночих дублянок, які надійшли у торгівлю з приватного підприємства, яке працює без відділу технічного контролю, виявився 1% браку. Похибка вибірки t=2 дорівнює 0,04%. На підставі цього з ймовірністю 0,954 можна стверджувати ,що доля бракованих дублянок: 1) дорівнює 0,04%; 2) дорівнює 1,04%, 3) більше 1,04%; 4) не більше 1,04%.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
45. За даними 1%-го вибіркового обстеження (n=25) середні витрати часу на обробку деталі 8 хвилин при μ=0,16. Середній відсоток виконання норм виробітки =120% при μ=2,4%. Похибка вибірки: 1) більша для середніх витрат часу на обробку деталі; 2) більша для середнього відсотку виконання норм виробітки; 3) похибки рівні; 4) дані не дозволяють зробити висновки.
Відповіді: 1); 2); 3); 4).
46. Питома вага дрібної оптової закупівлі на оптових базах з будівельних матеріалів міста складає 20% при μ=3%. З якою вірогідністю можна гарантувати, що дрібнооптова доля закупівель будівельних матеріалів не перевищує 26%?
Відповіді: 1) 0,954; 2) 0,683; 3) 0,900; 4) 0,997.
47. Маркетингові дослідження депозитних вкладів одного з банків міста охватили 36% вкладників. До вибірки потрапило 100 рахунків вкладів, в тому разі: підприємців – 60 осіб, середній розмір вкладу =200 у. од., при σ2=4800, службовців 40 осіб, середній розмір вкладу =250 у. од., при σ2=8800. Визначте середню похибку типової вибірки.
Відповіді: 1) 10; 2) 6,4; 3) 4,8; 4) 8,0.