6.5 Гранична похибка вибірки

Середня похибка вибірки використовується для обчислення можливих граничних відхилень показників вибіркової сукупності від відповідних показників генеральної сукупності.

З певною ймовірністю можна стверджувати, що ці розбіжності не перевищать наданої величини (Δ), котра зветься граничною похибкою вибірки.

Гранична похибка вибірки (Δ) зв’язана із середньою похибкою (μ) формулою:

Δ=t μ (6.6)

де t – коефіцієнт довіри, залежить від ймовірності, з якою можна гарантувати певні розміри граничної похибки.

З зростанням ознаки t розмір ймовірностей Р швидко наближається до одиниці (див. табл. 6.6)

Тому збільшуючи чисельність вибірки n, можливо відхилення вибіркової середньої від генеральної ( - ) довести до дуже малих розмірів, при цьому цей результат може бути гарантовано з ймовірністю як завгодно близькою до одиниці (табл. 6.6).

Тобто гранична похибка вибірки відповідає на питання про точність вибірки з певною ймовірністю, розмір якої визначається коефіцієнтом довіри t.

Таблиця 6.6 – Розмір ймовірностей Р відносно значення t

t	1	2	3	4
P	0,683	0,954	0,997	0,999936

Так, якщо t=1, ймовірність відхилень вибіркових характеристик від генеральних на величину однократної середньої похибки дорівнює 0,683. Це означає, що у середньому із кожної 1000 вибірки 683 нададуть узагальнюючі показники (середню, частку), які будуть відхилятися від генеральних узагальнюючих показників не більш, як на величину однократної середньої похибки.

Якщо t=2 ймовірність дорівнює 0,954 і означає, що з кожної 1000 вибірок 954 нададуть узагальнюючі показники, котрі мають відхилятися від генеральних узагальнюючих показників не більш, як на двократну середню похибку вибірки і т. ін.

Наведена формула граничної похибки вибірки Δ=t μ лежить у підґрунті обчислень пов’язаних з виконанням вибіркових обстежень. В залежності від виду вибірки вона набуває різних конкретних вираз.

Розглянемо методику практичного використання вибіркового оцінювання середньої та частки на прикладі обстеження 225 домогосподарств регіону.

Приклад 6.2. За результатами 1%–ої вибірки 70% грошового доходу домогосподарств витрачається на харчування. При цьому, як показали підрахунки, середньодушові витрати на харчування за місяць становлять =98 грн. при дисперсії =8510.

Необхідно визначити межі середньодушових витрат на харчування з ймовірністю 0,954 (t=2).

Розрахуємо розмір граничної похибки:

Це дає підставу стверджувати з ймовірністю 0,954, що середньодушові витрати на харчування в цілому по регіону щонайменше 85,7 грн. і не перевищує 110,3 грн.

98-12,3 ≤ х ≥ 98+12,3

Перш ніж визначати граничну похибку частки витрат на харчування, необхідно обчислити її дисперсію:

=p(1-p)=0,7(1-0,7)=0,21

Тоді гранична похибка дорівнює:

, або 6,1%

Щодо інтервалу можливих значень частки витрат на харчування в генеральній сукупності, то межі його становлять: min 63,9% і max 76,1%.

70-6,1 ≤ р ≥ 70+6,1

У статистичному аналізі часто виникає потреба порівняти похибки різних ознак, або однієї і той же ознаки в різних сукупностях.

Такі порівняння виконують за допомогою відповідної похибки, яка показує, на скільки процентів вибіркова оцінка відхиляється від параметра генеральної сукупності. Відносна стандартна похибка середньої – це коефіцієнт варіації вибіркових середніх:

(6.7)

Так у приклад 6.2 відносна похибка середньодушових витрат на харчування становить:

Її розмір можна визначити на основі коефіцієнта варіації ознаки V.

а) для повторної вибірки:

(6.8)

б) для без повторної вибірки:

(6.9)

Вибіркову похибку частки Δр також слід порівнювати з вибірковою часткою w. Адже одна і та сама похибка Δр=2% для w=80% є малою, для w=40% – припустимою, а для w=10% – завеликою.

Відносну похибку частки обчислюють за формулою:

(6.8)

У прикладі відносна похибка частки витрат на харчування становить 4,36%:

(4,36%)

Значення відносної похибки частки витрат значно нижче порівняно з похибкою середньодушових витрат на харчування (7,5%).

Відносну похибку вибірки можна використовувати і для порівняння вибіркових оцінок різних ознак.

На практиці достатнім рівнем точності вважається .

Іноді використовують граничну відносну похибку, яка враховує ймовірність статистичного висновку:

(6.9)