4.3 Властивості середньої арифметичної величини

1. Величина середньої не зміниться, якщо ваги кожної варіанти помножити (або поділити) на одне і те ж число.

З цього слід зазначити, що в якості важелів замість абсолютних значень відповідних величин можна використовувати їх питому вагу у загальному підсумку (долі або відсоток до результату), тому що питому вагу отримують поділенням абсолютної величини ваги кожної варіанти на одне і те ж число (обсяг ряду дорівнює сумі абсолютних величин частот варіантів ряду), тобто розрахунок середньої арифметичної у цьому випадку визначатиметься за формулою:

, (4.11)

де – питома вага варіантів, які виражені у долях до підсумку.

2. Якщо всі варіанти ознаки збільшити (зменшити) на одне і те ж число або в одну і ту же кількість разів, то відповідно зміниться і середня, яка розрахована на базі таким чином перетворених варіант.

Ця властивість дозволяє значно спростити розрахунок, якщо варіанти представлені многозначними, дрібними числами.

Для цього «діючі» варіанти замінюються на «умовні», розрахунок яких слід проводити за формулою:

, (4.12)

де х_і – «діючі» значення варіант;

а – одно із значень «діючих» варіант;

h – довжина інтервалу групи (інтервалу групувальної ознаки).

Таке перетворення приводить варіанти до ряду простих натуральних чисел на базі яких і виконується розрахунок середньої. По його завершенню здійснюється зворотне перетворення, яким і визначається величина середньої для діючих варіант:

, (4.13)

Приклад 4.11. У таблиці 4.45 наведені коефіцієнти ліквідності підприємств-кредиторів на кінець року. Необхідно знайти середній коефіцієнт ліквідності підприємств-кредиторів

Таблиця 4.45 – Коефіцієнти ліквідності підприємств кредиторів на кінець року

Коефіцієнти ліквідності	до 1,5	1,5-1,7	1,7-1,9	1,9-2,1	2,1 і вище	Разом
Доля підприємств, %	5	10	20	45	20	100

З метою наочності розрахунків, на основі даних таблиці 4.45 складемо розрахункову таблицю 4.46.

Таблиця 4.46 – Розрахункова таблиця

Коефіцієнти ліквідності	Доля підприємств, %, fi	Середина інтервалу,	«Умовні» варіанти,	Добуток «умовних» варіант на частоти, fi
до 1,5	5	1,4	-2	-10
1,5-1,7	10	1,6	-1	-10
1,7-1,9	20	1,8	0	0
1,9-2,1	45	2,0	1	45
2,1 і вище	20	2,2	2	40
Разом	100	Х	Х	65

Примітка: a=1,8; h=0,2.

,

Приклад 4.12. Розподілення фермерських господарств за розміром земельної ділянки наведено у графах 1,2 таблиці 4.47. Необхідно знайти середній розмір фермерської ділянки.

Аналогічно, як і у прикладі 4.11 результати розрахунків наведемо у графах 3-5 таблиці 4.47.

Таблиця 4.47 – Розподілення фермерських господарств за розміром земельної ділянки

Земельна площа, га	Число ферм, % до підсумку	Середнє значення в інтервалі	«Умовні» позначення варіант	Добуток «умовних» варіант на частоти, fi
1	2	3	4	5
до 5	29,5	2,5	-2	-59,0
5-10	28,2	7,5	-1	-28,2
10-15	18,8	12,5=А	0	0
15-20	12,2	17,5	1	12,2
20-25	8,6	22,5	2	17,2
25 та більше	2,7	27,5	3	8,1
Разом	100	Х	Х	-49,7

Розрахунок:

=

га.