Тема №3 «Фізичні основи динаміки. Закони збереження»

1. Інерційні системи відліку.

2. Сила. Перший закон Ньютона.

3. Маса тіла. Імпульс. Другий закон Ньютона.

4. Третій закон Ньютона.

5. Центр мас механічної системи та закони його руху.

6. Закон збереження імпульсу замкненої системи.

7. Енергія та робота. Кінетична енергія та робота. Потужність.

8. Консервативні сили. Потенціальна енергія системи тіл.

9. Повна механічна енергія.

10. Закони зіткнення тіл. Абсолютно пружний і абсолютно непружний удари.

Закони динаміки встановлюють зв’язок між рухом тіл і причинами, що викликали чи змінили цей рух. Дослідження законів руху тіл давно цікавили людей. У всіх випадках зміна руху супроводжується перш за все певною зміною вектора швидкості тіла. Отже, можна висунути припущення, що взаємодія, яка викликає зміну швидкості тіла, закономірно з нею пов’язана.

Думка про зв’язок між зовнішньою дією й швидкістю тіла, безумовно, правильна, якщо її розуміти так: зовнішня дія якимось чином визначає швидкість тіла. Але формулювання «дія на тіло в даний момент визначає швидкість у цей же момент часу», висунуте ще Аристотелем, зовсім неправильне. Галілей, провівши багато дослідів, відкинув формулювання Аристотеля і прийшов до такого висновку: при відсутності зовнішньої дії на тіло воно може рухатися з довільною постійною швидкістю чи перебувати в стані спокою.

Розглянемо основні механічні характеристики взаємодії тіл. Для цього спочатку означимо деякі поняття.

Інерційна система відліку (ІСВ) – це система відліку, в якій справедливий закон інерції: всі вільні тіла (на які не діють зовнішні сили або дія цих сил компенсується) рухаються прямолінійно й рівномірно або знаходяться у стані спокою.

Еквівалентним є таке формулювання:

Інерційною називається система відліку, стосовно якої простір є однорідним та ізотропним, а час – однорідним.

Будь-яка система відліку, що рухається відносно ІСВ рівномірно й прямолінійно, також є ІСВ. Згідно з принципом відносності, всі ІСВ рівноправні, і все закони фізики інваріантні щодо переходу з однієї ІСВ в іншу. Це означає, що прояви законів фізики у них виглядають однаково, і записи цих законів мають однакову форму в різних ІСВ.

Якщо швидкості відносного руху ІСВ, що реалізуються дійсними тілами, можуть приймати будь-які значення, зв’язок між координатами і моментами часу будь-якої «події» в різних ІСВ здійснюється перетвореннями Галілея.

В спеціальній теорії відносності швидкості відносного руху ІСВ, що реалізуються дійсними тілами, не можуть перевищувати певної кінцевої швидкості «с» (швидкості поширення світла у вакуумі) та зв’язок між координатами і моментами часу будь-якої «події» в різних ІСВ здійснюється перетвореннями Лоренца.

Абсолютно інерційні системи є математичною абстракцією, природно, в природі їх не існує. Проте існують системи відліку, в яких відносне прискорення досить віддалених один від одного тіл (виміряне за ефектом Доплера) не перевищує 10^-10 м/с, наприклад, Міжнародна небесна система координат в поєднанні з Барицентричним динамічним часом дають систему, відносні прискорення в якій не перевищують 1,5 10^-10 м/с. Точність експериментів з аналізу часу приходу імпульсів від пульсарів, а незабаром – і астрометричних вимірювань, така, що найближчим часом має бути виміряна прискорення Сонячної системи при її русі в гравітаційному полі Галактики, яке оцінюється в 2^.10^-10 м/с.

З різним ступенем точності і залежно від галузі використання інерційними системами можна вважати системи відліку, пов’язані з: Землею, Сонцем, нерухомі відносно зірок.

Рис.3.1.

Застосування Землі в якості ІСВ, незважаючи на наближений його характер, широко поширене в навігації. Інерційна система координат, як частина ІСВ будується за наступним алгоритмом. В якості точки O – початку координат вибирається центр землі відповідно до прийнятої її моделлю. Вісь z – збігається з віссю обертання землі. Осі x і y знаходяться в екваторіальній площині. Слід зауважити, що така система не бере участь в обертанні Землі.

Мірою будь-якої взаємодії є сила. У механіці під силою мають на увазі фізичну причину, яка змінює стан руху тіл і виникає в результаті взаємодії двох тіл.

У статиці мірою сили, як правило, є сила ваги певного тіла.

Силою ваги (вагою) називають таку силу, з якою тіло в стані спокою діє на інше тіло, яке втримує його від падіння.

За міжнародною угодою одиницею сили була визнана вага деякого певного тіла – еталона, сплаву платини з іридієм, який зберігається в Севрі, біля Парижа. Ця одиниця була названа кілограм-силою (кгс). Система СІ оперує іншою одиницею – ньютоном (Н), яка менша від кілограма в 9,80665 раза. В системі СГС одиницею сили є дина: 1 дина = 10^-5 Н.

Сила є векторною величиною. Напрям сили визначається напрямком дії тіла на інше тіло.

Основна задача динаміки – розкриття закономірності зв’язку між силами та рухом – була повною мірою розв’язана Ньютоном на основі згаданого закону інерції Галілея. Створений закон стали називати першим законом Ньютона: всяке тіло перебуває в стані спокою чи рівномірного і прямолінійного руху, доки прикладені сили не викличуть зміни цього стану.

Інколи твердження 1-го закону Ньютона здається дивним через те, що дослідник (чи спостерігач) не знає про всі сили, що діють на тіло. Однак, закон є закон. Наприклад, підчас падіння тіла у вакуумі на нього діє лише сила тяжіння, тому тіло не може рухатися рівномірно, і швидкість його не може бути постійною, що повністю узгоджується з результатами спостережень.

Ті ж досліди показують, що сила і прискорення є взаємно пропорційними величинами:

. (3.1)

Однак, у ході дослідів виявляється, що прискорення, викликане тією ж силою, зменшується зі збільшенням навантаження. Отже, прискорення, яке отримує тіло під дією даної сили, залежить не лише від величини самої сили, але й від деякої фізичної властивості самого тіла, пов’язаної зі зміною кількості речовини тіла. Ця властивість називається інертністю. Чим вища інертність тіла, тим менше прискорення воно отримує під дією постійної сили.

Мірою інертності тіла є фізична величина, яку називають масою тіла. В системі СІ масу вказують у кілограмах (кг), у системі СГС – у грамах (г).

Ньютоном був сформульований другий закон динаміки, який можна трактувати так: добуток величини маси тіла на його прискорення пропорційний величині сили, що діє на дане тіло. При цьому напрями сили і прискорення співпадають:

, (3.2)

де – сила; m – маса тіла; – прискорення; k – деякий коефіцієнт, значення якого залежить від вибору одиниць.

Враховуючи розмірності всіх величин у формулі (3.2), можна записати співвідношення між ними:

[F] = 1 Н = 1 кг ^. 1 м/с².

Власне Ньютоном другий закон динаміки був сформульований у більш загальній формі. З цією метою була введена ще одна векторна величина, яка характеризує стан механічного руху тіла – імпульс або кількість руху як добуток маси тіла на його швидкість:

. (3.3)

Отже, другий закон динаміки був сформульований Ньютоном так: зміна кількості руху пропорційна силі, що рухає, і відбувається у напрямку тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.

або . (3.4)

І лише у випадку, коли маса тіла залишається постійною в часі, її можна винести за знак похідної:

, (3.5)

де є прискоренням тіла.

Третій закон динаміки Ньютон сформулював так: до будь-якої дії завжди є рівна й протилежна протидія; або так – взаємна дія двох тіл одного на одне між собою рівні й напрямлені у протилежні сторони.

Даний закон відображає той факт, що сила є результатом взаємодії двох різних тіл.

Всі тіла при певних умовах деформуються, тобто, так чи інакше змінюють свою форму. Термін «тверде тіло» чи «абсолютно тверде тіло» означає таке тіло, яке при жодних умовах не може деформуватися. В такому тілі віддаль між двома точками (між двома частинками цього тіла) залишається незмінною, постійною. Зрозуміло, що таке тіло є абстракцією. Однак, в тих ситуаціях, коли при русі можна знехтувати деякою зміною в будові тіла, його можна вважати абсолютно твердим.

Будь-який складний рух твердого тіла складається з простих рухів – поступального і обертального. Проаналізуємо ці рухи.

П оступальним називають такий вид руху твердого тіла, при якому кожна лінія, що з’єднує будь-які дві точки цього тіла, зберігає незмінний напрям у просторі. В загальному випадку, поступальний рух не завжди є прямолінійним. Знаючи рух будь-якої точки тіла при поступальному русі, можна впевнено говорити, що решта точок здійснюють такий самий рух.

Р ух тіла називають плоским, якщо під час руху кожна точка (частинка) твердого тіла залишається в одній з паралельних площин. При плоскому русі траєкторії кожної точки тіла знаходяться в деякій площині, причому ці площини або збігаються, або взаємно паралельні.

Обертальним рухом називають такий рух, при якому траєкторії всіх точок тіла є концентричними колами з центром на одній прямій, яку називають віссю обертання. Вісь обертання можна проходити крізь тіла або знаходитися поза ним. Обертальний рух навколо нерухомої осі завжди буде плоским рухом.

Обертання тіла визначається величиною кутової швидкості – відношенням зміни кута до часу, за який ця зміна відбувається:

. (3.6)

Оскільки кутова швидкість не залежить від вибору точок на будь-якій площині, перпендикулярній до осі обертання, отже, вона визначає обертання тіла в цілому.

Моментом сили відносно осі називають фізичну величину, чисельно рівну добутку сили на плече (найкоротшу віддаль між віссю обертання тіла і лінією дії сили).

Отже, при визначенні спокою чи рівноваги тіла, яке вільно обертається навколо нерухомої осі, потрібно знати не сили, а моменти сил відносно осі обертання, які відіграватимуть таку ж роль, як і сили при русі точки.

Рівновага матиме місце в тому випадку, коли сума моментів відносно осі обертання дорівнює нулю.

При будь-якому русі твердого тіла важливо знати рух деякої точки цього тіла. Яку називають центром інерції (або центром мас). Центр інерції співпадає з відомим центром ваги тіла. Якщо закріпити тіло в центра ваги, то воно знаходитиметься у рівновазі при будь-якому положенні тіла. Отже, сума моментів сил тяжіння всіх частинок тіла відносно довільної горизонтальної осі, яка проходить через центр ваги, дорівнює нулю.

Розглянемо закон руху центра інерції тіла.

Центр інерції твердого тіла рухається так, ніби до нього були прикладені всі зовнішні сили і маса всього тіла була б зосереджена в центрі інерції.

Прикладемо силу , наприклад, до одного з кутів скриньки, і при цьому скринька почне рухатися і обертатися, маючи кутове прискорення і кутову швидкість. Рух скриньки буде складним. Однак, центр інерції цієї скриньки рухатиметься з прискоренням , напрям якого співпаде з напрямом сили , а величина буде рівною , де m – маса всієї скриньки.

Кількість руху довільного тіла дорівнює його масі, помноженій на швидкість руху його центра інерції:

. (3.7)

Застосування другого і третього законів динаміки до системи, що складається з кількох тіл, які взаємодіють між собою, приводить до важливих висновків, з яких випливає закон збереження кількості руху.

Розглянемо дві кульки з масами m₁ і m₂, що лежать на горизонтальній поверхні, а між ними затиснута пружина, зв’язана ниткою. Якщо у деякий момент нитку перепалити, то пружина почне діяти на першу кульку з силою , а на другу – з силою . Вважаючи масу пружини зникаюче малою, будемо говорити, що кульки діють одна на одну через пружину, і що

. (3.8)

Під дією цих сил кульки отримають прискорення і , тому, врахувавши рівність (3.7), матимемо вираз:

. (3.9)

Врахувавши зв’язок між швидкістю і прискоренням, отримаємо таке співвідношення:

. (3.10)

Формула (3.10) дозволяє сформулювати твердження про те, що сума кількостей руху кульок залишається постійною і під час дії пружини, і після цього, аж до моменту дії на них зовнішніх сил.

Отже, кількість руху системи, що складається з двох тіл, під дією сил взаємодії цих тіл змінитися не може.

Закон збереження кількості руху справедливий для будь-якого числа тіл в системі, ізольованій від дії зовнішніх сил. Кількість руху кожного окремого тіла системи може змінюватися, однак для системи в цілому така кількість залишається постійною.

Кількість руху можна вважати деякою мірою механічного руху тіла. Однак, така міра може бути застосована не у всіх випадках. Наприклад, при непружному ударі двох тіл, коли рух тіл припиняється, і кількість руху ніби «зникає». Хоча, слід врахувати, що ми розглядаємо систему двох тіл, для якої сума кількостей руху як до удару, так і після нього залишається нульовою.

Досліди показують що після удару тіла мають вище температуру, ніж до удару. Тобто, механічний рух «зник», але замість нього «з’явилося» тепло – інша форма існування матерії.

Мірою, зручною для всіх випадків взаємодії тіл, є енергія. При всіх перетвореннях матерії енергія залишається незмінною. Оскільки рух матерії є вічним, отже, енергія – це кількісна міра руху матерії у всіх формах прояву.

Є певна різниця у ситуаціях, коли точка прикладення сили залишається спокої, і коли вона рухається під дією цієї сили. У другому випадку говорять про наявність деякої фізичної величини, яку називають роботою, і обчислюють як добуток прикладеної сили на шлях, пройдений тілом під її дією. Робота слугує мірою передачі руху від одного тіла до іншого через силу.

Коли на тіло діє сила, і тіло внаслідок цієї дії переміщується, то система, з боку якої діє сила, виконує певну роботу, і енергія тіла зростає на величину виконаної роботи. Будь-яке рухоме тіло є найпростішою формою руху матерії; мірою цього руху є деякий запас енергії руху, який називають кінетичною енергією.

Величину кінетичної енергії можна визначити за величиною роботи, яку потрібно здійснити, щоб викликати даний рух тіла. Нехай сила діє на тіло масою m, викликаючи його рух зі швидкістю зі стану спокою; тоді робота сили на всьому шляху, який тіло пройшло за час зростання його швидкості від нуля до значення , була витрачена на збільшення кінетичної енергії тіла. Згідно з другим законом динаміки завжди

. (3.11)

Домножимо обидві частини виразу (3.11) на – приріст шляху, пройденого тілом:

. (3.12)

Зліва виконаємо деякі перетворення, пам’ятаючи, що , і отримаємо:

. (3.13)

У цій рівності є скалярний добуток , який можна записати як . Величина є проекцією приросту швидкості на її напрям або напрям вектора в даному місці. Отже, dv_s є збільшенням модуля вектора швидкості за час dt. Тому рівняння (3.13) можна записати так:

. (3.14)

Проінтегруємо праву і ліву частини рівності (3.14) й отримаємо вираз для роботи:

. (3.15)

Отже, для тіла з масою m, що рухається зі швидкістю v₀, кінетична енергія дорівнює .

Робота, що виконана за одиницю часу, або енергія, передана за одиницю часу, позначається іншим параметром – потужністю:

. (3.16)

Зазвичай потужність позначають латинською літерою W, одиниця вимірювання – Ват. Іншою одиницею вимірювання, яка ще й досі широко використовується, є «кінська сила»²:

Назва	Потужність у Ватах
Метрична кінська сила	735,49875
Механічна кінська сила	745,6999
Електрична кінська сила	746
Котлова кінська сила	9809,5

На будь-яке тіло, що знаходиться біля поверхні Землі, діє сила тяжіння, напрямлена до центра Землі. Отже, при зміні віддалі від тіла до центра Землі ця сила здійснюватиме певну роботу, а, отже – змінюватиме енергію тіла.

Для початку розглянемо простий дослід – піднімемо тіло на висоту h. Робота сили F, що здійснювати цей підйом, дорівнюватиме Fh. Приріст кінетичної енергії тіла дорівнюватиме:

. (3.17)

де F_t = mg – сила тяжіння. Помноживши обидві частини рівності на dS і проінтегрувавши від 0 до h, отримаємо вираз:

, (3.18)

де v_п – швидкість на початку шляху, v_к – швидкість в кінці шляху. Отже, робота сили F дорівнює зміні кінетичної енергії тіла плюс робота сили тяжіння.

Доведено, що переміщення тіла в полі тяжіння Землі пов’язане з витратою (чи набуттям) деякої енергії, яка залежить лише від висоти положення тіла і не залежить від траєкторії, по якій це тіло переміщується. Цю енергію називають потенціальною:

. (3.19)

Фізичні сили, для яких можна запровадити потенціальну енергію, називаються потенціальними силами.

Згідно з прийнятою класифікацією, всі сили, що можуть діяти на тіло, поділяють на консервативні та неконсервативні.

Консервативні сили – це сили, для яких виконується закон збереження механічної енергії. Вони не обов’язково є потенціальними. Наприклад, сила Лоренца, що діє на рухомий електричний заряд у магнітному полі, не може бути подана у вигляді градієнту від скалярного потенціалу, бо залежить від швидкості зарядженої частинки, однак вона є консервативною.

Неконсервативними силами є сили, які призводять до втрати механічної енергії, перетворюючи її в теплову. До таких сил належить сила тертя.

Явища природи звичайно супроводжуються перетворенням одного виду енергії в інший. Кожне тіло може мати одночасно і кінетичну, і потенціальну енергію.

Суму потенціальної та кінетичної енергій тіла називають повною механічною енергією.

Закон збереження механічної енергії: якщо в замкнутій системі діють тільки сили тяжіння й пружності, то повна механічна енергія системи залишається сталою.

Енергія може також передаватися від одного тіла до іншого. Наприклад, при стрільбі з лука потенціальна енергія лука перетворюється на кінетичну енергію стріли, що летить.

Закон збереження і перетворення механічної енергії є дуже важливим і загальним законом природи.

У випадку, коли в системі діє ще й сила тертя, повна механічна енергія не залишається постійною, частина її перетворюється на так звану внутрішню енергію, бо під час тертя тіла завжди нагріваються. Тому існує фундаментальний закон природи: енергія ніколи не виникає з нічого й не зникає в нікуди, вона лише переходить з одного виду в інший.

У всіх пристроях, де виконується механічна робота, завжди намагаються зменшити сили тертя, які приводять до втрат механічної енергії.

Розглянемо ще один тип ситуацій – коли два тіла при русі торкаються одне одного (вдаряються одне в одне). Розрізняють два види ударів – пружний і непружний.

При пружному ударі двох тіл, наприклад, кістяних чи стальних гартованих куль, відбувається пружна деформація цих куль, їх поверхні прогинаються і сила тиску внаслідок такої деформації змінює швидкості куль.

Для спрощення будемо мати на увазі центральний удар – це удар, при якому швидкості куль до удару співпадають за напрямком з лінією, що з’єднує центри куль (а).

Процес удару відбувається приблизно так. Під час зближення куль (б) сили, що діють на них ( і ), збільшуються зі збільшенням деформації, доки швидкості обох куль не зрівняються (в). У цей момент деформації досягають максимуму, а потім починають зменшуватися, розштовхуючи при цьому кулі до тих пір, поки вони не розійдуться; далі кулі будуть рухатися з різними швидкостями залежно від їх мас.

Детальний аналіз деформації куль при ударі є достатньо складним. Однак, якщо не враховувати процесу перетворення механічної енергії в теплову, можна досить легко визначити співвідношення між швидкостями куль до і після удару. При таких умовах при зближенні куль відбувається перехід кінетичної енергії руху в потенціальну енергію деформації, а потім потенціальна енергія цілком переходить у кінетичну.

На основі закону збереження кількості руху і закону збереження енергії можна записати

(3.20)

і

, (3.21)

де m₁ і m₂ – маси куль; і – швидкості куль до удару; і – швидкості куль після удару.

Зробивши деякі перестановки в рівняннях та розділивши друге рівняння на перше, отримуємо:

. (3.22)

Домноживши отримане рівняння на m₁ і додавши до рівняння (3.20) після перестановки елементів, зможемо визначити швидкість другої кулі після удару:

. (3.23)

Аналогічно, швидкість першої кулі після удару дорівнюватиме:

. (3.24)

Якщо маси куль однакові, і одна з них (наприклад, друга) знаходиться в спокої, то після удару швидкість першої кулі дорівнюватиме нулю, а друга куля рухатиметься зі швидкістю першої.

При нецентральному ударі куль все буде відбуватися набагато складніше. Тут під час удару кулі не тільки зближуються внаслідок деформації, але й «ковзають» поверхнями одна відносно іншої. Через це виникають додатково ще сили тертя, які вплинуть на швидкості куль.

Насправді, розглянутий удар є ідеальним варіантом взаємодії, оскільки в реальних процесах мають місце втрати механічної енергії шляхом перетворення її частини в тепло. Якщо така втрата незначна, то удар можна вважати пружним. Коли ж втрати стають помітними, складеться інша картина.

Нехай тіло масою m₁ рухається зі швидкістю і вдаряється в тіло масою m₂, яке має швидкість . Якщо після удару обидва тіла мають однакову швидкість , то такий удар називається абсолютно непружним. Згідно із законом збереження кількості руху можна визначити результуючу швидкість з формули:

. (3.25)

Відповідно, кінетична енергія тіл після удару матиме величину:

. (3.26)

До удару сумарна кінетична енергія була рівна

. (3.27)

Отже, втрати механічної енергії внаслідок удару складатимуть величину

. (3.28)

Енергію втрат можна розглядати як кінетичну енергію деякої, так званої ефективної маси

, (3.29)

яка рухається з відносною швидкістю .

Ще Ньютон визначив, що при непружному ударі куль з певного матеріалу відношення величин відносних швидкостей до і після удару є практично постійним, тому такий удар можна характеризувати коефіцієнтом відновлення відносної швидкості:

, (3.30)

який залежить лише від матеріалу, з якого зроблені кулі. Неважко побачити, що для абсолютно пружного удару такий коефіцієнт дорівнює одиниці, а для реальних матеріалів від менший від одиниці (наприклад, для скла він = 0,9375, для заліза = 0,5556 ).