Сезонные модели авторегрессии
С помощью AR-моделей можно моделировать сезонность. Такие модели обозначают SAR (Seasonal AR). Например, при наличии квартальных данных и предположении о квартальной сезонности можно построить следующую модель SAR(4):
Фактически это обычная AR-модель с ограничением на параметры модели (равенство нулю параметров при лагах менее 4). На практике сезонность может сочетаться с обычной авторегрессией, например:
В некоторых случаях оказываются полезными сезонные модели, у которых случайная ошибка, подчиняется некоторому AR-процессу:
Нетрудно увидеть, что такую модель в операторной форме можно записать как:
Такую
модель обозначают
.
Одной из ключевых предпосылок МНК(Метод наименьших квадратов) является условие независимости случайных отклонений (третье условие Гаусса-Маркова). Отсутствие зависимости гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями:
и, в частности, между соседними отклонениями:
.
Автокорреляция определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временными ряды) или в пространстве (перекрёстные данные).
Автокорреляция отклонений обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. При использовании перекрёстных данных наличие автокорреляции (пространственной корреляции) крайне редко. В силу этого в дальнейших выкладках вместо символа i порядкового номера наблюдения будем использовать символ t, отражающий момент наблюдения. Объём выборки при этом будет обозначаться символом T вместо n.
В
экономических задачах значительно чаще
встречается т.н. положительная
корреляция (
),
нежели отрицательная
корреляция (
).
П
оложительная
корреляция означает постоянное действие
в одном направлении неучтенных факторов
на результат. Например, спрос на мороженое
всегда выше линии тренда летом и ниже
зимой (см. рис. 8.5).
Аналогичная картина может наблюдаться в микроэкономическом анализе с учётом циклов деловой активности.
О
трицательная
автокорреляция означает разнонаправленное
действие неучтенных в модели факторов
на результат, что приводит к отрицательной
корреляции между последовательными
значениями случайной составляющей.
Возможная схема рассеивания точек в
этом случае представлена на рис. 8.6. За
положительным отклонением следует
отрицательное, и наоборот. Заметим, что
отрицательная автокорреляция в экономике
встречается крайне редко.
Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.
Последствия автокорреляции
Последствия автокорреляции в определённой степени сходны с последствиями гетероскедастичности. Среди них при использовании МНК обычно выделяют следующие.
1. Оценки коэффициентов регрессии, оставаясь несмещёнными и линейными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещённых оценок (BLUE-оценок).
2. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением. Это является следствием того, что не объясненная уравнением регрессии дисперсия S2, которая используется при вычислении оценок дисперсий всех коэффициентов, является смещенной оценкой истинного значения 2, во многих случаях занижая его.
3. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадёжными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а, следовательно, t-статистики будут завышенными. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, которые таковыми на самом деле не являются. Кроме того, ухудшаются прогнозные качества модели.