2.8. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Мощность тепловых потерь в проводнике равна произведению тока и напряжения:

Если рассмотреть в проводящей среде элемент объема dV (рис. 2.4), то мощность, которая тратится в этом объеме на тепловые потери, будет равна:

откуда

(2.9)

Следовательно, в единице объема проводящей среды в единицу времени выделяется энергия, численно равная Е².

2.9. Примеры по расчету электрического поля постоянных токов

Пример 1. Провести расчет электрического поля в плоском конденсаторе с двухслойным диэлектриком. К конденсатору подключено постоянное напряжение U = 4 кВ (рис. 2.5). Площадь обкладок конденсатора s равна 24 см², толщина слоев – d₁ =2 см и d₂ =4 см. Удельные проводимости слоев несовершенного диэлектрика равны ₁ = 510^-9 См/м и ₂ = 10^-8 См/м, относительные значения диэлектрической проницаемости -r₁ = 2 и r₂ = 5, соответственно.

Пренебрегая краевым эффектом найти распределение напряженности и потенциала в каждом слое. Определить сопротивление утечки конденсатора, поверхностную плотность свободного и связанного зарядов на поверхности раздела двух сред. Рассчитать мощность, выделяющуюся в единице объема диэлектрика.

Решение. Для расчета напряженности электрического поля запишем уравнение для напряжения между пластинами конденсатора, которое по определению имеет вид:

Напряженности поля Е₁ и Е₂ являются неизвестными величинами, поэтому для их определения необходимо составить еще одно уравнение. Для этого воспользуемся условием (2.5), которое с учетом выражения (2.1) можно представить в следующем виде:

.

Решая совместно два последних уравнения, находим значения Е₁ и Е₂

кВ/м;

кВ/м.

Напряжение на каждом слое диэлектрика

кВ; кВ.

Используя закон Ома в дифференциальной форме, находим плотность тока в каждом слое

А/м².

Ток утечки при этом будет равен

А.

Плотность свободных зарядов на границе раздела диэлектриков определим по формуле

. (2.10)

Подставляя в выражение (2.10) значения векторов электрического смещения, получим

Кл/м2.

Плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектриков находим через вектор поляризации с помощью формулы

.

Подставляя в последнее выражение значения векторов электрического смещения и напряженности электрического поля, получим

Кл/м².

Активную мощность, выделяющуюся в единице объема каждого диэлектрика, находим с помощью закона Джоуля – Ленца в дифференциальной форме (2.9) P_V1 = 50 вт/м³; P_V2 = 25 вт/м³.

Активную мощность, выделяющуюся во всем диэлектрике, можно определить с помощью следующего выражения:

Вт.

Сопротивление конденсатора

Ом.

Отметим, что сопротивление конденсатора можно определить и с помощью метода электростатической аналогии. Для этого в выражение (1.16) для емкости конденсатора с двухслойным диэлектриком необходимо подставить вместо значений диэлектрических проницаемостей удельные значения электрических проводимостей, в результате чего получим значение проводимости G = 310^-10 См. Сопротивление конденсатора определяется как обратная величина проводимости R = 1/G = 3.33310⁹ Ом.

Пример 2. К краям плоской алюминиевой пластины (рис. 2.6) подводится постоянное напряжение U = 2 В. Пластина представляет собой половину диска постоянной толщины с концентрически вырезанными круглыми отверстиями. Внутренний радиус диска r₁ = 1 см, наружный – r₂ = 2 см, толщина пластины h = 1 мм.

С читая, что линии плотности тока совпадают с полуокружностями и напряженность поля зависит только от радиуса, найти зависимость плотности тока в функции расстояния от центра диска. Рассчитать ток, протекающий по пластине и определить сопротивление пластины.

Решение. Напряжение между краями пластины определяется с помощью следующего выражения:

,

здесь r – произвольный радиус (r₁  r  r₂)

Зная зависимость напряженности поля от радиуса и, используя закон Ома в дифференциальной форме, находим зависимость плотности тока от радиуса

Ток, протекающий по пластине, определяется следующим образом:

А.

Сопротивление пластины

Ом.

Пример 3. Заземлитель, который выполнен в виде цилиндрической трубы с наружным радиусом r₂ = 2 см, расположен в грунте с удельной проводимостью ₃ = 410^-2 См/м. Длина трубы равна h = 5 м (рис. 2.7).

Определить сопротивление заземлителя.

Решение. Для расчета используем метод зеркальных изображений. В этом случае реальная труба относительно поверхности земли и вся среда считается однородной и имеющей проводимость  = ₃. В результате получаем расчетную схему, представленную на рис. 2.8.

Емкость цилиндра, имеющего длину 2h и радиус r₂, определяется по формуле (1.21). Заменяя в этой формуле диэлектрическую проницаемость  на удельное электрическое сопротивление земли з, получаем выражение для проводимости заземлителя (с учетом того, что проводимость заземления для действительного электрода равна половине проводимости, образованной электродом и его зеркальным изображением)

См.

С опротивление заземлителя R = 1/G = 4.946 Ом.