1.18. Потенциальные коэффициенты. Коэффициенты электростатической индукции

В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого тела определяется не только зарядом данного тела, но также и зарядами всех остальных тел. При этом, если диэлектрическая проницаемость  не зависит от напряженности поля, то потенциал является линейной функцией зарядов. Рассмотрим это положение и вытекающие из него соотношения более подробно.

Если внести незаряженное проводящее тело А₂ в поле другого тела А₁, имеющего заряд q₁, то тело А₂ приобретает некоторый потенциал U₂^/, отличный от нуля. Если вносимое тело А₂ имеет ничтожно малые размеры, то оно приобретает тот потенциал, который был в точке до помещения в эту точку тела А₂. При значительных размерах вносимого тела поле искажается и потенциал U₂^/ будет определяться как зарядом q₁ тела А₁, так и зарядами, индуцированными на теле А₂. Следовательно, U₂^/ зависит от формы поверхностей обоих тел, от их взаимного расположения и изменяется пропорционально заряду q₁

Связь между потенциалом U₁^/ тела А₁ и его зарядом можно выразить в аналогичной форме:

Если теперь предположить, что заряжено тело А₂, а в его поле вносится не заряженное тело А₁, то тела приобретают потенциалы, значения которых пропорциональны заряду q₂:

и

Если заряды обоих тел отличны от нуля, то потенциалы тел могут быть найдены на основе принципа наложения

(1.47)

В общем случае, когда имеется n заряженных тел, получаем систему уравнений для потенциалов этих тел

Коэффициенты  носят название потенциальных коэффициентов. Они зависят от формы и размеров поверхностей тел, от взаимного расположения тел и диэлектрической проницаемости среды. Коэффициенты _kk с одинаковыми индексами называются собственными потенциальными коэффициентами, а коэффициенты _nk с различными индексами называются взаимными потенциальными коэффициентами. Эти уравнения служат для вычисления потенциалов тел по заданным их зарядам.

Нередко возникает обратная задача: известны потенциалы тел, требуется найти их заряды. Решая приведенную выше систему уравнений относительно зарядов, получим

Коэффициенты  называются коэффициентами электростатической индукции – собственными при одинаковых индексах и взаимными при разных индексах. Они имеют размерность емкости.

1.19. Потенциальные коэффициенты двухпроводной линии. Емкость двухпроводной линии

Определим потенциальные коэффициенты двухпроводной линии, провода которой подвешены на одинаковой высоте h от земли и на расстоянии D друг от друга (рис. 1.36). Радиусы проводов одинаковы и равны R. Для определения коэффициентов достаточно положить q₁  0 и q₂ = 0. При этом уравнения (1.47) приобретают вид

(1.48)

Поле заряженного первого провода будет таким же, как и при одном проводе, протянутом над поверхностью земли. Поэтому потенциал этого провода можно определить по формуле (1.46), если предположить, что точка М, находится на поверхности провода, а электрические оси данного и отраженного провода совпадают с их геометрическим осями (вследствие малости размера провода по сравнению с расстоянием до земли). В этом случае формула (1.46) приобретает вид:

. (1.49)

Потенциал второго провода будет равен потенциалу той точки, через которую проходит его ось (поскольку искажением поля пренебрегаем) и его также можно определить с помощью формулы (1.46)

(1.50)

Сравнивая первую формулу (1.48) с выражением (1.49), получаем уравнение для определения собственного потенциального коэффициента ₁₁

,

здесь l – длина провода.

Аналогичным образом, сравнивая вторую формулу (1.48) с выражением (1.50), получаем уравнение для определения взаимного потенциального коэффициента ₂₁,

Собственный потенциальный коэффициент ₂₂ второго провода, с учетом его размеров, а также то, что он находится на том же расстоянии от поверхности земли, что и первый провод, равен ₁₁.

Ч то касается взаимного потенциального коэффициента ₁₂, то он равен ₂₁, поскольку всегда имеет место равенство _kp = _pk, что вытекает из условия независимости энергии системы заряженных тел от последовательности, в которой устанавливаются заряды системы.

Зная потенциальные коэффициенты, определим теперь емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли. Пусть заряды проводов равны по абсолютному значению и противоположны по знаку: q₁ = -q₂. Заменяя q₂ в выражении (1.47) на - q₁, получаем

Следовательно, искомая емкость имеет вид

Если высота подвеса h много больше расстояния между проводами D, то

и