2.3. Электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде

Внутри проводников, по которым проходит электрический ток, также существует электрическое поле. Напряженность этого поля в изотропной по отношению к удельной проводимости среде связана с плотностью тока соотношением (2.1).

Если среда неоднородна, то линии тока остаются в ней непрерывными, что следует из принципа непрерывности тока, выражаемого условием

(2.2)

или

. (2.3)

Уравнение (2.2) и (2.3) представляет собой обобщенную форму первого закона Кирхгофа соответственно в интегральной и в дифференциальных формах.

Внутри проводящей среды вне источников ЭДС всюду соблюдается условие (1.3) и (1.4). Последнее позволяет сделать вывод о том, что поле, как было отмечено выше, является потенциальным.

Таким образом, электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуется системой уравнений:

2.4. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде

Поскольку электрическое поле в проводящей среде является потенциальным, то справедливо равенство

.

Подставив последнее выражение в уравнение для плотности тока (2.1), а затем плотность тока в уравнение (2.3), получим

Если среда однородна и изотропна по отношению к удельной проводимости, то

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

2.5. Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред

При переходе тока через поверхность раздела сред с различными удельными проводимостями ₁ и ₂ направление тока изменяется, если только линии тока не направлены нормально к поверхности раздела (рис. 2.1). При этом, на поверхности раздела равны между собой касательные составляющие напряженности поля

(2.4)

и нормальные составляющие вектора плотности электрического тока

(2.5)

Здесь индекс 1 относится к первой среде, а индекс 2 – ко второй.

Условия (2.4) и (2.5) можно представить и в таком виде:

и .

Из данных граничных условий можно получить еще одно условие - условие преломления линий поля при переходе их из одного диэлектрика в другой:

, (2.6)

где ₁ и ₂ - углы между вектором напряженности (или плотности тока) и нормалями к границе раздела сред. При этом, если вектор напряженности перпендикулярен к границе раздела, то плотность тока не меняется при переходе из одной среды в другую, а напряженность поля меняется скачком.

Закон преломления линий тока по форме вполне аналогичен закону преломления линий электрического смещения на границе двух диэлектриков в электростатическом поле.

Во многих практических случаях мы встречаемся с переходом тока из металлических тел в окружающую среду, удельная проводимость которой во много раз меньше удельной проводимости материала этих тел. Такие условия имеют место, например, в случае перехода тока через зарытые в землю металлические электроды. Обычно применяют стальные электроды. Удельная проводимость стали приблизительно равна   510⁶ См/м.

Удельная проводимость почвы зависит от влажности почвы и от ее состава. В среднем ее можно считать равной   10^-2 См/м. Таким образом, отношение удельной проводимости материала электродов к удельной проводимости почвы имеет порядок 510⁸. Поэтому линии тока со стороны плохо проводящей среды подходят к поверхности электрода примерно под прямым углом.

Во всех таких случаях при рассмотрении поля в среде с малой удельной проводимостью можно пренебречь падением напряжения внутри металлических тел и считать поверхности тел поверхностями равного потенциала.