3.4. Скалярный потенциал магнитного поля
В той части пространства, где плотность тока равна нулю (правая часть уравнения (3.4) равна нулю), магнитное поле можно рассматривать как потенциальное и напряженность магнитного поля можно представить в виде
,
(3.5)
где Uм - скалярный потенциал магнитного поля.
В областях не занятых током (только для этих областей имеет смысл функция Uм) при постоянном значении магнитной проницаемости ( = const) скалярный потенциал магнитного поля подчиняется уравнению Лапласа:
что вытекает из уравнений (3.2) и (3.5).
Линейный интеграл от напряженности магнитного поля по замкнутому контуру l, не охватывающему контура с током, равен нулю (закон полного тока). Поэтому (как в электростатическом поле), если условно принять равным нулю потенциал в некоторой точке Р (Uмр = 0), то разность потенциалов в точках А и Р будет равна потенциалу точки А:
Однако, если выбрать такой путь интегрирования, который охватывает контур с током, правая часть уравнения (3.3) не будет равна нулю. Поэтому скалярный потенциал магнитного поля является функцией неоднозначной, но эта неоднозначность не оказывает влияния на расчет напряженности поля (i = const).
Разность магнитных потенциалов между двумя точками называют падением магнитного напряжения между этими точками.
3.5. Векторный потенциал магнитного поля
В той
части пространства, где плотность тока
не равна нулю
(правая часть уравнения (3.4) не равна
нулю), магнитное поле можно рассматривать
как вихревое. В этом случае вектор
магнитной индукции можно представить
в виде вихря некоторого вспомогательного
вектора
:
(3.6)
Вектор носит название векторного потенциала магнитного поля.
Единицей измерения для векторного потенциала является В/м.
Основанием для представления индукции в виде (3.6) служит то, что при этом всегда соблюдается закон непрерывности магнитного потока (3.2).
В однородной среде ( = const) для векторного потенциала справедливо уравнение Пуассона
(3.7)
и, в частности (при = 0), уравнение Лапласа
.
(3.8)
Общее решение уравнения (3.7) может быть представлено в следующем виде:
(3.9)
Интегрирование
достаточно распространить по всему
объему, где плотность тока
Величина r – это расстояние
от центра элемента объема dv,
в котором плотность тока равна
до точки, в которой определяется
.
Данное
выражение для определения вектора
по заданному распределению тока в
пространстве справедливо всюду, в
частности и там, где
.
Выражение (3.9) может быть упрощено, если токи протекают по контурам из линейных проводников, поперечные размеры сечений которых весьма малы по сравнению с длиной контуров и по сравнению с расстоянием от проводников до точек, в которых определятся . В этом случае формулу (3.9) можно преобразовать к следующему виду:
где l – длина контура; i – ток в контуре.