. Тема: Теория игр .

Вопросы:

1.Предмет теории игр. Основные понятия.

2.Решение матричных игр в чистых стратегиях

3.Решение матричных игр в смешанных стратегиях

Теория игр была предложена при разработке моделей экономических систем в начале XX в. Дж. фон Нейманом. Им в 1928 г. была доказана основополагающая теорема теории игр — теорема о минимаксе.

Бурное развитие теория игр получила после выхода в 1944 г. книги Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», в которой впервые было дано систематизированное, полное и строгое изложение теории игр.

Практическое использование теории игр началось после создания электронно-вычислительной техники.

В условиях рыночной экономики возникают ситуации, в которых сталкиваются интересы двух и более сторон. Такие ситуации относятся к конфликтным.

Например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом.

Для конфликтных ситуаций оптимальность решений, принимаемых каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, т.к. обеим сторонам приходится принимать решение в условиях неопределенности.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр.

Отметим основные ее понятия:

игра – упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реальной темы, что ведется по определенным правилам, при этом каждый из участников принимает такие решения, которые, как он полагает, обеспечат ему наилучший исход;

исход игры – значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша ли платежной функцией, которая может задаваться либо аналитическим выражением, либо матрицей;

стратегия – совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации. Величина выигрыша зависит от стратегии игрока. Всякая игра состоит из партий;

партией называют каждый вариант реализации игры. В партии игроки совершают конкретные ходы;

ход – выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

Игры можно классифицировать по разным признакам:

Например:

по количеству стратегий игры делятся

• на конечные, (если каждый игрок имеет в своем распоряжении конечное число стратегий,)

• бесконечные;( в противном случае)

по взаимоотношению участников

• на бескоалиционные (без права заключения соглашениями),

Если правила игры разрешают объединение группы участников (образование коалиции) для получения ими лучших результатов по сравнению с теми, которых они добились бы, действуя самостоятельно, то такая игра называется кооперативной. В противном случае игра называется бескоалиционной или некооперативной.

по характеру выигрышей на игры

• с нулевой суммой (общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, при этом сумма выигрышей равна 0, а проигрыш есть отрицательный выигрыш),

• и с ненулевой суммой;

Игра называется игрой с нулевой суммой, если одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая, т. е. сумма выигрышей равна нулю. Если это условие не выполнено, то такая игра называется игрой с ненулевой суммой.

Решить игру – это значит найти пару оптимальных стратегий и цену игры, т. е. средний выигрыш игрока, если оба игрока будут вести себя разумно

по виду платежной функции

• на матричные

• и непрерывные;

по количеству ходов игры

• на одноходовые

• и многоходовые (многоходовые игры подразделяются на стохастические и дифференциальные уравнения).

По этому признаку игры делятся на одноходовые, в которых партия заканчивается после того, как каждый игрок сделал свой ход, и многоходовые, в которых выигрыш распределяется после нескольких ходов.

Если в конфликте участвуют две стороны, игра называется парной, если несколько — множественной. Парные игры проще множественных и имеют большее практическое значение.

Ограничимся изучением парных матричных игр с нулевой суммой, а именно таких игр, в которых у каждого из двух игроков А и В конечное число возможных ходов – чистых стратегий.