5.8.2. Преобразование "звезда – треугольник"
Преобразование элементов электрической цепи, соединённых в звезду, в эквивалентный треугольник полезно при необходимости уменьшить количество узлов в электрической цепи. Преобразование соединения в треугольник в эквивалентную звезду позволяет уменьшить количество контуров.
При известных величинах сопротивлений пассивных элементов, соединённых в звезду (рис. 5.8.3.а), сопротивление элементов сторон эквивалентного треугольника (5.8.3.б) определяется по формулам.
,
,
.
а б
Рис. 3.8.3. Соединение пассивных элементов электрической цепи
а) в звезду, б) в треугольник
При известных величинах сопротивлений пассивных элементов, соединённых в треугольник (рис. 5.8.3.б), сопротивление элементов сторон эквивалентной звезды (5.8.3.а) определяется по формулам.
,
,
.
5.8.3. Расчёт электрической цепи прямым применением
законов Кирхгофа
Для расчёта токов во всех ветвях электрической цепи составляются уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Количество уравнений равно количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа может быть составлено (m – 1) независимых уравнения, где m – количество узлов электрической цепи. При n ветвей с неизвестными токами, остальные (n – (m – 1)) уравнений составляются по второму закону Кирхгофа.
Рис. 5.8.4. Расчётная схема
Для схемы электрической цепи рис. 5.8.4 имеем количество узлов m=3, и количество ветвей с неизвестными токами n=5.
Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид.
– İ1 – İ2 + İ5 = 0,
– İ5 + İ3 + İ4 = 0.
Поскольку токи всех ветвей схемы вошли в уравнения для двух узлов, то уравнение для узла 3 новой информации в расчёт не внесёт. Поэтому количество уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше, чем количество узлов в схеме электрической цепи (m – 1).
При пяти неизвестных токах по второму закону Кирхгофа необходимо составить ещё 3 уравнения (n – (m – 1)). При составлении уравнений необходимо соблюдать следующие принципы:
1. каждая ветвь электрической цепи должна войти хотя бы в одно уравнение.
2. каждый контур должен отличаться от других хотя бы одной ветвью.
3. при расчёте нематричными методами направление обхода контуров выбирается произвольно.
Направления обхода контуров показаны пунктирными линиями. Для первого контура ток İ1 и ЭДС источника Ė1 совпадают по направлению с обходом контура, а ток İ2 и ЭДС источника Ė2 направлены навстречу направлению обхода контура. Поэтому для первого контура уравнение имеет вид.
Z1 İ1 – Z2 İ2 = Ė1 – Ė2 ,
По аналогии для второго и третьего контуров
Z2 İ2 + Z5 İ5 + Z3 İ3 = Ė2 + Ė3 ,
Z3 İ3 + Z4 İ4 = – Ė3 .
Окончательно имеем систему из пяти уравнений, решив которую, получим значения токов в ветвях электрической цепи (İ1, İ2, İ3, İ4, İ5).
– İ1 – İ2 + İ5 = 0,
– İ5 + İ3 + İ4 = 0,
Z1 İ1 – Z2 İ2 = Ė1 – Ė2 ,
Z2 İ2 + Z5 İ5 + Z3 İ3 = Ė2 + Ė3 ,
– Z3 İ3 + Z4 İ4 = – Ė3 .