4.4 Выборочные числовые характеристики.

Для многих распределений задача оценивания параметров распределения связана с задачей оценивания числовых характеристик случайной величины. В частности, математического ожидания и дисперсии.

Оценку неизвестного математического ожидания, обозначаемую , в случае не сгруппированной выборки, вычисляют по следующей формуле:

и называют выборочным средним.

Оценку дисперсии вычисляют по формуле вида:

.

S² называют выборочной дисперсией.

Выборочное среднее и выборочная дисперсия, рассчитанные по указанным формулам, будут являться несмещенными и состоятельными оценками.

В то же время, если использовать сгруппированные статистические ряды, можно провести вычисление оценок математического ожидания и дисперсии следующим образом.

Для дискретной случайной величины:

, .

Для непрерывной случайной величины:

,

Вычисление оценки дисперсии по одной из следующих формул (выбор которой осуществляется в зависимости от представления имеющейся статистической информации):

будет приводить к смещению оценки дисперсии, которое, вообще говоря, нивелируется, если объем выборки изучаемой случайной величины достаточно большой. Отметим, что

(4.4.1)

Величина называется выборочным среднеквадратическим отклонением и служит статистической оценкой (несмещенной) неизвестного среднеквадратического отклонения .

Замечание. При вычислении оценок рекомендуется вычислить смещенную оценку дисперсии по формуле: а потом, используя формулу (4.4.1) вычислить несмещенную оценку дисперсии.

ТЕОРЕМА 4.4.1. Оценка неизвестного математического ожидания Е[] = m является:

1. Несмещенной;

2. Состоятельной;

3. Асимптотически эффективной.

ТЕОРЕМА 4.4.2. Оценка S² неизвестной дисперсии V[]=² является:

1. Несмещенной;

2. Состоятельной;

3. Не является эффективной.