4.2. Эмпирические функция и плотность распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.1 Эмпирической функцией распределения , дискретной случайной величины называют функцию вида:

Эмпирическая функция распределения служит оценкой теоретической функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.2 Эмпирической функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию вида:

График эмпирической функции распределения называют или кумулятивной кривой. Для дискретной случайной величины это график кусочно-постоянной функции . Для непрерывной случайной величины графиком является непрерывная ломаная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.3 Эмпирическую плотность распределения , непрерывной случайной величины определяют как производную от эмпирической функции распределения н.с.в и находят по следующему правилу:

Как уже отмечалась длина последнего интервала, вообще говоря, может не совпадать с длиной δ остальных интервалов. Поэтому на последнем промежутке J_r эмпирическая плотность будет вычисляться по формуле f*_n(x)= , где через δ_r обозначена длина интервала J_r. График эмпирической плотности называют гистограммой.

На рисунке приведен пример графика, который, к сожалению, нельзя построить в Ехсеl, в Ехсеl пользователю удается получить рисунок без огибающей (только столбики).

Если мы построим гистограмму в Ехсеl, то получим следующий график,

Или:

Исходный график затем можно преобразовать к виду:

4.3. Оценки параметров и их свойства.

Как известно, многие распределения с.в. характеризуются определенными параметрами. Например, нормальный закон распределения имеет два параметра: m и .

В математической статистике возникает следующая задача: найти некоторые приближения этих неизвестных параметров, которые принято называть оценками неизвестных параметров распределения. Оценки параметров бывают двух видов: точечные и интервальные.

Точечной оценкой называют приближение неизвестного параметра одним числом, полученным по определенному правилу. Причем, исследователь должен не просто найти любую точечную оценку, а только ту, которая удовлетворяют сформулированным ниже требованиям.

Обозначим неизвестный параметр через , а его оценку, полученную по выборке объема n, через . Величину еn= - называют ошибкой оценки.

К точечным оценкам параметров предъявляют следующие требования: несмещенности, состоятельности, эффективности.

Определение 4.3.1. Оценка должна быть несмещенной, то есть

E[ ]=.

Определение 4.3.2. Оценка должна быть состоятельной, то есть

Определение 4.3.3. Оценка должна быть эффективной, то есть ее дисперсия должна быть наименьшей по сравнению с дисперсиями любых других оценок этого параметра:

.

Замечание. Если оценка параметра будет удовлетворять перечисленным требованиям, то тогда, для ошибки оценки будут выполняться следующие свойства:

E[ ]=0.

То есть, будет отсутствовать систематическая ошибка, с увеличением объема выборки ошибка оценки будет стремиться к нулю, а для эффективной оценки дисперсия ошибки будет наименьшей.