58. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Интегралы с бесконечными пределами от неограниченных функций называются несобственными.

называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом функции y=f(x) на промежутке и обозначается .

называется несобственным интегралом с бесконечным нижним пределом функции y=f(x) на промежутке и обозначается

называется несобственным интегралом с бесконечными нижним и верхним пределами функции y=f(x) на промежутке ( ) и обозначается .

59.Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функции y=f(x) непрерывна во всех точках отрезка кроме точки х=с, где она терпит бесконечный разрыв.

, где и 0. Данный интеграл называется несобственным интегралом от неограниченной функции.

Если оба предела в интеграле существуют и конечны, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

60. Дифференциальные уравнения (основные понятия).

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и её производных различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то такое уравнение называется обыкновенным.

Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение:

F(x, y, y’, y’’,… , где

х – независимая переменная, у = у(х) – искомая функция, y’, y’’,… - её производные, F – заданная функция своих аргументов.

Функция y=f(x), определенная и непрерывно дифференцируемая в интервале (а;b), называется решением дифференциального уравнения, если она обращает данное уравнение в тождество F(x, y(х), y’(х), y’’(х),…

График решения дифференциального уравнения порядка называется интегральной линией.

Дифференциальное уравнение первого порядка(1) – уравнение вида F(x, y, y’)=0.

Общее решение уравнения (1) – функция , которая является его решением при любом допустимом значении параметра С.

Частное решение уравнения (1)- функция , получаемая из общего решения при конкретном значении С= .

Задача Коши – задача нахождения частного решения дифференциального уравнения.

61.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида y’=f(x)g(x) или X(x)Y(y)dx+ называется уравнением с разделяющимися переменными.

Общий интеграл уравнения

62. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’+P(x)y=Q(x), где Q(x)-некоторая функция.

Если Q(x)=0, то уравнение называется однородным.

Если Q(x) не равно 0, то уравнение называется неоднородным.

Уравнение Бернулли:

y’+p(x)y=Q(x)

y=U(x)v(x)- подстановка.