51. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Интегралы вида находятся с помощью преобразований с помощью формул:

Интегралы вида находятся с помощью формул понижения степени.

Неопределённые интегралы вида находятся с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

Интегралы вида находятся с помощью замены cos x=t, sinx =t.

52.Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Интегралы вида:

, где R- рациональная функция, приводится к интегралу от рациональной функции с новой переменной U с помощью подстановки:

, где .

53. Геометрическая задача, приводящая к понятию определённого интеграла. Определенный интеграл. Его свойства.

Определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [а;в] называется конечный предел её интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к 0. Обозначается:

.

Свойства:

1.

2. .

3. .

4. .

5. Если f(x) для любого , то .

6. Если f(x) для любого , то .

7. Если f(x) непрерывна на [а;в] , то на этом отрезке существует хотя бы одна точка х=с, такая, что верно равенство:

.

f(c)= - среднее значение функции f(x) на отрезке [а;в].

54. Применение определенного интеграла в экономических исследованиях.

1. С помощью определенного интеграла можно определить объём произведенной продукции Q за время T, если производительность труда характеризуется функцией f(t):

Q= .

2. Объём продукции за T лет составляет Q= , где g(t)= - функция Кобба-Дугласа.

3. Если k(x)– функция, определяющая издержки производства, то средние издержки равны , где a и – единицы объёма продукции.

4. С помощью определённого интеграла можно рассчитать дисконтированный доход:

K= .

55. Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции.

Теорема:

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела:

Ф’(х)=f(x) или .

Формула Ньютона-Лейбница:

56. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Замена переменной:

Если функция f(x) непрерывна на [а;в], отрезок [а;в] является множеством значений функции x= , определенной на отрезке и имеющей на нём непрерывную производную, и =а, =b, то справедлива формула:

.

Интегрирование по частям:

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то справедлива формула:

.

57. Площадь плоской фигуры. Объём тела вращения.

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу графиком функции , справа и слева – прямыми x=b и x=a, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу прямыми y=d и y=c, слева и справа графиками функций = и = ,вычисляется по формуле:

Объём тела вращения, полученного вращением вокруг ОХ криволинейной трапеции:

Объём тела вращения, полученного вращением вокруг ОУ криволинейной трапеции: