41. Достаточные признаки монотонности функции.
Если на данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает на этом промежутке, если производная отрицательна, то функция убывает на этом промежутке.
42. Экстремум функции и его необходимое условие. Достаточные признаки экстремума.
Максимум и минимум функции называются экстремумом.
Необходимое условие экстремума:
В точке экстремума дифференцируемой функции её производная равна 0.
Достаточные признаки:
1) Если при х= производная функции y=f(x) равна 0 и меняет знак, то - точка экстремума (знак меняется с «+» на «-»- это точка максимума, с «-» на «+»- это точка минимума).
2)
Если в точке х=
первая производная функции y=f(x)
равна 0, а вторая производная отлична
от нуля, то
- точка экстремума (
то
-точка минимума,
то
- точка максимума.
43.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх), если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке.
График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз), если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке.
Теорема:
Если вторая производная функции f(x) в данном промежутке положительна, то график является выпуклым вниз, если вторая производная функции в данном промежутке отрицательна, то график функции выпуклый вверх на соответствующем промежутке.
Точкой перегиба графика функции называется такая точка в которой выпуклость меняется на вогнутость по отношению к одному направлению.
44. Асимптоты графика функции.
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при её удалении по кривой в бесконечность.
Асимптоты:
-вертикальные (параллельно ОУ)
-наклонные
Прямая
х=а называется вертикальной
асимптотой, если хотя бы одно из
предельных значений
является бесконечным.
Прямая
y=kx+b
является наклонной
асимптотой
графика функции y=f(x),
где
и
.
45. Функции нескольких переменных. Частные производные и полный дифференциал.
Если
каждой совокупности переменных (
,
из
некоторой области n–мерного
пространства соответствует определенное
значение y,
тогда y
называется функцией
нескольких переменных
.
Частная производная по любой переменной – производная по этой переменной, найденная при условии, что все остальные переменные постоянны.
Полным
дифференциалом
называется главная часть полного
приращения функции
,
линейно
зависящая от приращений ∆x
и ∆у и обозначается:
46. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
Точка
(
)
называется точкой
локального максимума(минимума)
функции
,
если
для всех точек М
)
отличных от
и
принадлежащих достаточно малой её
окрестности, выполняется неравенство:
-
максимум
– минимум.
Условие экстремума:
Если
(
)
является точкой экстремума, то
,
либо хотя бы одна из этих производных
не существует.
48. Первообразная функции, неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
Функция
F
называется первообразной
для
функции f
на промежутке X,
если для любого x
,
F’(x)=f(x).
Множество всех первообразных функции f называется неопределенным интегралом функции f и обозначается
.
=F(x) +C.
Свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
d
3.
(F(x))=
F(x) +C.
4.
.
5.
49. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
Замена переменной:
Если
функция
имеет
непрерывную производную, то в
неопределенном интеграле
можно перейти к новой переменной t
по формуле:
.
(при
замене должно осуществляться
взаимооднозначное соответствие между
областями определения
).
Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:
50. Интегрирование рациональных функций.
Рациональной
функцией
называется функция равная отношению
двух многочленов R(x)=
.
Если
m
–
это правильная дробь.
Если
m
–
это неправильная дробь.
Любую неправильную дробь можно привести к сумме правильной дроби и многочлена.
Простейшей дробью называется дробь одного из 4 типов:
1.
2.
3.
4.
, где
A, a, M, N, p, q-числа.
Интегралы от простейших дробей находятся легко.
Всякий
многочлен
можно представить в виде (1):
Pn(x)=a0(x-α1)k1…(x-αβ)kβ(x2+p1x+q1)t1…(x2+psx+qs)ts
Теорема (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей):
Всякую правильную дробь со знаменателем, представленным в виде (1), можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа 1-4.
Нахождение неопределённых интегралов от рациональных функций сводится к разложению правильных рациональных дробей в сумму простейших дробей.