34.Точки разрыва и их классификация.

Точка а называется точкой разрыва функции , если функция не является непрерывной в этой точке:

2 Вида:

1) I род – точки разрыва, в которых имеет односторонние пределы, но они не равны между собой.

2) II род – такие точки, в которых у функции не существует хотя бы одного одностороннего предела, либо они равны .

35. Производная функции. Геометрический и экономический смысл производной. Правила дифференцирования.

Производной функции y= называется предел отношения приращения этой функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

= .

Геометрический смысл: при х= производная функции y= равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке ( :

=tg , где - угол наклона касательной к оси Ох.

Экономический смысл:

-производительность труда есть производная объема продукции за время t.

-производная среднего прироста издержек производства выражает предельные издержки производства (аналогично можно определить предельный доход, предельную полезность и т.д.)

Правила дифференцирования:

1) ( ’=

2) ( ’=

3) ( ’=

4) (

5) если y= , то y’=

6) (c)’=0

7) (x)’=1

36. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных.

*Обратная функция:

(

*Сложная функция:

y’=

*Таблица производных:

_1.

_2.

3.

_4.

_5.

6.

7.

_8.

_9.

10.

11.

12.

13.

37. Дифференциал функции, его геометрический и экономический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Дифференциалом функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной х и обозначается dy=y’∆x=y’dx.

Геометрический смысл: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение ∆x.

С помощью формулы можно производить приближенные вычисления.

38. Теоремы Ферма и Ролля.

Теорема Ферма:

Пусть функция определена на интервале (а;в) и в некоторой точке из интервала (а;в) имеет локальный экстремум. Тогда, если в существует производная, то =0.

Теорема Ролля:

Пусть функция непрерывна на отрезке [а;в], дифференцируема на интервале (а;в) и . Тогда существует точка с , в которой (т.е. внутри [а;в] есть экстремум).

39. Теорема Лагранжа.

Если функция непрерывна на отрезке [а;в], дифференцируема на интервале (а;в), то существует точка с такая, что справедлива формула .

40.Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

Правило Лопиталя:

Если функции f(x)и g(x) дифференцируемы и определены в некоторой окрестности точки х=а, обращаются в ноль в этой точке и существует предел отношения при х , тогда существует и предел отношения самих функций, равный пределу производных = .

Правило Лопиталя применимо для раскрытия неопределённостей вида , поскольку её можно привести к неопределённости вида .