28.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
Пусть
для каждого натурального числа поставлено
в соответствие действительное число
. Тогда говорят, что задана числовая
последовательность
=
.
- общий член последовательности.
Число
a
называется
пределом
числовой последовательности
(a=
),
если для любого
существует номер N=N(
)
такой, что для всех номеров n
N
выполняется неравенство
.
29. Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Связь между ними. Операции над бесконечно малыми последовательностями.
Последовательность
называется бесконечно
большой последовательностью
(ББП),
если для любого М
0,
найдется номер N
N,
такой, что n
N,
Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (БМП), если ее предел равен 0.
*Связь
между ними:
если у- бесконечно малая величина, то
– бесконечно большая и наоборот.
Сравнение
бесконечно малых величин:
1)если
отношение
двух бесконечно малых величин само
бесконечно мало(lim
=0),
то β
называют величиной высшего порядка
малости относительно α.
2)если отношение стремится к конечному пределу, не равному нулю, то α и β называется бесконечно малыми одного и того же порядка малости.
30.Предел функции в точке. Односторонние пределы.
Число
b
называется пределом функции
в точке х равной а (или при х
а),
если для любой последовательности
,
сходящейся к a,
соответствует последовательность
значений функции
сходящаяся к b.
Односторонние
пределы:
предел слева (
,
оставаясь меньше а, х
;
(
,
оставаясь меньше а, х
;
предел справа
(
,
оставаясь больше а, х
.
31. Основные теоремы о пределах функций.
*Теорема 1
Для того, чтобы функция имела предел в точке а, необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и они были равны; при этом предел равен одностороннему пределу.
*Теорема 2
Пусть
функции
и
имеют в точке а пределы
и
,
тогда:
1)
предел суммы (разности):
2)предел произведения:
3)предел
частного:
.
*Теорема 3
Пусть
функции
;
;
определены в некоторой окрестности
точки а, кроме а и удовлетворяют условию
и пусть предел
,
,
тогда
.
32.Понятие неопределенностей и способы их раскрытия. Два замечательных предела.
Если
a(x)
и b(x)
–БМФ, при х
,
то выражение
при х
называется
неопределенностью типа
.
Если
a(x)
и b(x)
–ББФ, то выражение
называется неопределенностью вида
,
а выражение a(x)
- b(x)
– неопределенностью типа
.
Если
a(x)
– БМФ, а b(x)
– ББФ, то a(x)
b(x)
при х
называется неопределенностью вида 0
Два замечательных предела:
,
.
33. Непрерывность функции в точке. Операции над непрерывными функциями. Свойства функций, непрерывность на отрезке.
Функция
называется непрерывной
в точке х равной а, если она определена
в этой точке и
.
Функция
называется непрерывной
в точке х равной а справа(слева), если
она определена в этой точке и
(
).
Функция
называется непрерывной
на отрезке
,
если
она непрерывна на интервале
и непрерывна в точке а справа и в точке
b
слева.
Пусть
функции
и
непрерывны в точке х=а, тогда функции
,
и
также
непрерывны в этой точке.
Теорема:
если функция
непрерывна на отрезке
и на концах отрезка имеет значение
разных знаков (
)
,
тогда существует точка с из интервала
такая, что
Теорема:
если
функция
непрерывна на отрезке
и на его концах принимает разные значения
)
,
то если с – любое число, лежащее между
)
,
то существует точка с
,
такая, что
)=с.
Теорема:
непрерывная
на отрезке
функция
достигает в некоторых точках отрезка
своих максимума и минимума, т.е. существуют
точки
и
для которых
=
(
и
.