16. Уравнение прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве:
*канонические:
,
где m,n,p
– координаты направляющего p
вектора.
*параметрическое:
.
*Общие уравнения прямой в пространстве:
.
*Уравнение по двум точкам:
.
Угол между прямыми:
cos
=
=
.
Условие параллельности:
,(
.
Условие перпендикулярности:
(
;
=0).
17.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью:
sin
=
=
,
где
– вектор нормали плоскости,
– направляющий вектор прямой.
*Условие параллельности:
,
=0.
*Условие перпендикулярности:
,
.
18. Система n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Определители. Свойства определителей.
Системой
n
линейных уравнений с n
неизвестными
называется система вида:
.
Определителем
n-го
порядка квадратной матрицы
называется число
и обозначается
=detA=
*Свойства:
1)
Значение определителя не меняется
после замены всех его строк соответствующими
столбцами и наоборот detA=
det
.
2)Если поменять местами 2 параллельных ряда определителя, то он изменит знак на противоположный.
3) Определитель с двумя одинаковыми рядами равен 0.
4) Если все элементы какого-либо ряда определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
5) Если все элементы какого-либо ряда равны 0, то определитель равен 0.
6)Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен 0.
7) Определитель не изменится, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответственные элементы другого ряда умноженные на одно и то же производное число .
8) Сумма произведений элементов одного ряда определителя на алгебраическое дополнение элементов другого параллельного ряда равна 0.
9) Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму 2-х слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором – из вторых.
19. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Метод
Крамера
применяется для систем линейных
уравнений, в которых m=n
и detA
.
Для нахождения неизвестных
верны формулы Крамера
, где
- определитель матрицы A,
- определитель, полученный из определителя
заменой
-го
столбца столбцом свободного элемента.
20. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по данному базису.
*Любые коллинеарные векторы, 3 компланарных вектора, 4 и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.
*3
упорядоченных линейно независимых
вектора
,
,
в трехмерном пространстве называются
базисом.
*Упорядоченная тройка некомпланарных векторов трехмерного пространства всегда образуют базис.
*Любой вектор можно разложить по базису , , , т.е. представить в виде линейной комбинации a=x +y +z , где x,y,z – координаты вектора в базисе , , .
*Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимноперпендикулярны и имеют одинаковую длину (единичную).