9. Скалярные и векторные величины. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.
Векторной величиной или вектором называют всякую величину, обладающую направлением.
Скалярной величиной называется величина, не обладающая направлением.
Для
сложения
векторов Ā и
необходимо перенести векторы параллельно
себе так, чтобы конец вектора Ā совпадал
с началом вектора
.
Провести из начала вектора Ā в конец
второго вектора новый вектор
,
который и будет суммой векторов (Ā+
).
Чтобы получить разность (Ā- ) двух векторов , надо отложить векторы из одной точки и соединить конец вектора с концом вектора Ā.
Произведением
вектора
на число
называется новый вектор
,
имеющий длину
и направленный одинаково с
(если
)
и противоположно
(если
).
10. Проекция вектора на ось. Основные теоремы о проекциях.
Проекцией
вектора
на ось называется вектор, начало которого
есть проекция начала А на ось и конец
– проекция конца В на ту же ось
(геометрическая).
Проекция вектора - величина направленного отрезка оси (алгебраическая).
Теорема: Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:
пр.
=
cos
Теорема: Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
np(
+
+
)
= пр
+ пр
+ пр
.
11.Декартова система координат в пространстве. Разложение вектора по ортам.
Декартова система координат в пространстве определяется заданием масштаба и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей.
О – начало координат
Ох – ось абсцисс
Оу – ось ординат
Оz – ось аппликат
Единичные
векторы координатных осей
,
,
называются ортами.
Вектор (x,y,z) можно представить в виде: =x +y +z (разложение вектора по ортам).
12.Операции над векторами, заданными в координатной форме.
Сложение (разность):
(
,
)
(
,
)
+
=
(
;
+
;
)
-
=
(
;
-
;
)
Произведение вектора на число:
(
,
)
=
,
)
13. Скалярное произведение 2-х векторов и его свойства.
Скалярным
произведением
векторов
и
называется число (
)
равное
)
*Свойства:
1)
(
)=
2)(
)=(
)
3)(
),
=(
))
4)
(
)=
+
)
5) скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.
6)
=
=
7)если
(
,
)
и
(
,
),то
(
)=
.
14. Угол между 2-мя векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
Угол между двумя векторами можно найти по формуле :
cos
=
=
.
Вектора
коллинеарны, если они параллельны одной
прямой. Векторы
(
,
)
и
(
,
)
коллинеарны, если
=
=
.
Вектора
и
перпендикулярны, если скалярное
произведение их равно 0 (
=0,
=0).
15. Уравнение плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Общее уравнение плоскости в декартовых координатах:
Ax+By+Cz+D=0,
где
A,B,C,D – числа,
.
Уравнение плоскости по точке M0(x0,y0,z0) и нормальному вектору (A,B,C):
A(x-
+B(y-
+C(z-
=0
Уравнение
плоскости в отрезках на осях:
.
Уравнение плоскости по трем точкам:
=0.
Уравнение плоскости, проходящей через 2 точки параллельно вектору:
=0.
Угол между двумя плоскостями:
cos
=
=
.
Условие
параллельности:
(
)
Условие
перпендикулярности:
(
)