63. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение относительно искомой функции, её первой и второй производных.

F(x, y, y’, y’’)=0

Уравнение вида ay’’+by’+cy=f(x) называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (a, b, c - постоянные).

Если то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (1), в противном случае – неоднородным.

Уравнение (1) можно привести к виду y’’+py’+qy=0

Уравнение называется характеристическим. В зависимости от корней характеристического уравнения получаем общее решение уравнения (1) в виде:

.

65. Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость рядов. Необходимый признак сходимости.

Бесконечная сумма … называется числовым рядом.

- общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется частичной суммой.

…

Конечный или бесконечный предел частичной суммы при n называется суммой ряда.

Ряд, имеющий конечную сумму, называется сходящимся.

Если предел частичной суммы не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то его общий член стремится к 0:

66. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов. Интегральный признак.

Ряд, члены которого неотрицательны, называется положительным.

Признак сравнения:

Даны ряды (1) и (2)

Пусть для рядов (1) и(2), начиная с некоторого номера 0 . Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда(2).

Предельный признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от 0 предел , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Признак Даламбера:

Пусть для ряда (1) существует предел . Тогда 1) при ряд сходится, 2) при ряд расходится, 3) при требуется дополнительное исследование.

Признак Коши:

Пусть для положительного ряда (1) существует предел

Тогда 1) при ряд сходится, 2) при ряд расходится, 3) при требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши:

Пусть функция для ряда (1) продолжена на R и любое x . Функция непрерывна, неотрицательна и монотонно убывает. Тогда ряд (1) и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно.

67. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов и причем сходится абсолютно.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

68. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд вида … +…= где ,называется знакочередующимся рядом.

Признак Лейбница:

Если 1) ;

2) =0,

Тогда знакочередующийся ряд сходится.