1.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

В прямоугольной декартовой системе координат расстояние между двумя точками М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) определяется формулой:

Если точка М(х, у) делит отрезок М₁М₂ в отношении: М₁М:ММ₂=m₁:m₂, то координаты М(х,у) можно рассчитать по формуле:

,

где λ= m₁:m₂.

2. Декартова система координат на плоскости. Основные задачи.

Декартова система координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные направленные прямые, которые называются осями координат. Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат , О – начало системы координат. Положительное направление осей указывается стрелкой. Выбирается отрезок Оℇ на осях за единицу масштаба.

С помощью декартовой системы координат определяют положение точки на плоскости, которое определяется парой чисел х и у, называемых координатами этой точки. Каждой точке на плоскости соответствует пара чисел (х,у).

3. Понятие об уравнении линии. Определение окружности и ее уравнение.

Уравнением линии называют такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Уравнение линии в декартовых координатах в общем виде:

F(х,у)=0.

Уравнение окружности с центром в точке c(a,b) и радиусом R: (x-a)²+(y-b)²=R².

Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение примет вид: x²+y²=R².

4. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла α наклона ее к положительному направлению оси Ох (k=tgφ).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

y=kx+b, где k-угловой коэффициент, b-величина направленного отрезка, отсекаемого на оси Оу.

5. Общее уравнение прямой, его исследование.

Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0

1) Если C=0, то прямая проходит через начало координат.

2) Если B=0, то прямая параллельна оси Оу.

3) Если A=0, то прямая параллельна оси Ох.

6. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках.

Прямая, проходящая через 2 точки A₁(x₁,y₁) и A₂(x₂,y₂) представляется уравнением:

- уравнение прямой по двум точкам .

Уравнением прямой в отрезках называют уравнение:

, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно на осях Ох и Оу.

7.Угол между 2-мя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.

Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: y₁=k₁x+b₁ и y₂=k₂x+b₂, то тангенс угла между этими прямыми вычисляется по формуле: tgφ= .

k₁=k₂ (b₁ ≠b₂) – условие параллельности .

k₂= - условие перпендикулярности.

8. Кривые второго порядка( эллипс, парабола, гипербола).

Эллипс – геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная.

Уравнение эллипса:

, где a и b – большая и малая полуоси.

Координаты фокусов эллипса F₁(-c,0) и F₂(0,c), где c= .

Эксцентриситет эллипса ℇ - отношение фокусного расстояния 2С к длине большой оси 2a: ℇ= .

Фокальные радиусы точки М эллипса – отрезки прямых, соединяющих эте точку с фокусами F₁ и F₂. Их длины равны: r₁=a+ℇx и r₂=a-ℇx.

Парабола – геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в той же плоскости.

Уравнение:

y=ax²

y²=2px – симметрично относительно Ох (F( ;0); x=- ; r=x+ )

x²=2py– симметрично относительно Оу (F( ); у=- ; r=у+ )

Гипербола – геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов) – величина постоянная.

Уравнение:

, где a-действительная, а b – мнимая полуоси.

F₁(-c,0) и F₂(0,c)- фокусы, где c=

Эксцентриситет = отношение фокусного расстояния к длине действительной оси:

ℇ= .

Асимптоты: y= x; y= x.