3.2 Применение поперечно-цилиндрической проекции Гаусса- Крюгера при выполнении топографических съемок

В Республике Беларусь, России и некоторых других странах мира главной проекцией, используемой для топографического и тематического картографирования, привязки снимков с космических аппаратов, а также в качестве математической основы наиболее распространенных баз пространственных данных, является поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. 

Система координат в равноугольной проекции, которую теперь называют проекцией Гаусса-Крюгера, была введена выдающимся немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом для работки ганноверской триангуляции (1821 -1825). В 1912 и 1919 гг. ее развил немецкий геодезист Л. Крюгер. С тех пор она стала называться проекцией Гаусса-Крюгера.

Проекция Гаусса-Крюгера не имеет геометрической интерпретации. Она получена аналитически путем разложения комплексной функции от изометрических координат в степенной ряд. Проекция Гаусса-Крюгера определяется тремя условиями: она равноугольная, сохраняет длины на среднем меридиане и симметрична относительно среднего меридиана и экватора. По составу она является поперечной цилиндрической проекцией. Цилиндр касается среднего меридиана зоны, и на этот цилиндр проектируется вся зона при соблюдении перечисленных выше трех условий.

В проекции Гаусса -Крюгера поверхность земного эллипсоида делится на трёх– или шестиградусные зоны, ограниченные меридианами от полюса до полюса. Всего 60 шестиградусных или 120 трёхградусных зон. Они нумеруются с запада на восток, начиная с нулевого меридиана, так, что к меридиану Гринвича с запада примыкает 60-я (120-я) зона, а с востока – 1-я зона. В каждой зоне строится своя прямоугольная система координат. Начало координат каждой зоны находится в точке пересечения экватора со средним (осевым) меридианом зоны, который изображается на проекции прямой линией и является осью абсцисс. Абсциссы считаются положительными к северу от экватора и отрицательными к югу. Осью ординат является экватор. Ординаты положительны к востоку и отрицательны к западу от осевого меридиана. При вычислениях начало координат переносят в точку пересечения осевого меридиана со средней параллельностью карты. Для получения ординат положительного значения их увеличивают на 500000 м. Перед ординатой пишется номер зоны.

Такой выбор координатных осей позволяет, во-первых, наряду с прямоугольной системой координат использовать полярную систему координат, сохраняя в силе весь математический аппарат, где обычно ось X ориентирована направо (на восток), а ось Y – вверх (на север), и, во-вторых, сохранять у людей привычку ориентироваться относительно направления на север.

В проекции Гаусса-Крюгера масштаб изображения вдоль осевого меридиана сохраняется и равен 1. Это видно из формулы (3.1.) [9]:

.

где φ – широта точки = 90°, λ – долгота точки

Исследования искажений показали, что если взять зону протяжением по долготе в 3°, то на краях зоны линейные искажения на экваторе (φ=0) достигают 1/3200. При зоне протяжением в 6° наибольшее искажение равно 1/750. Искажения в средних широтах значительно меньше. 

Координаты точек x, y в проекции Гаусса-Крюгера вычисляются по следующим формулам (3.2) и (3.3) [2]:

	(3.2);	[9]
	3(3.3).

где Х – длина дуги меридиана от наxала прямоугольных координат до данной точки, φ – широта точки, λ – долгота точки.

Л. Крюгер предложил умножить координаты х, у на некоторый множитель< 1 для того, чтобы искажения длин на краях зоны уменьшить в два раза. Это реализовано в проекции UTM, используемой в США, в которой на осевом меридиане частный масштаб длин = 0,9996, в результате чего в проекции образуются две параллельные линии нулевых искажений, расположенные на расстоянии около 180 км по обе стороны от него. На границе зон в южных широтах частный масштаб длин приблизительно равен 1,0003.

В Республике Беларусь и СНГ для топографических карт масштаба 1:1000000 применяют шестиградусные зоны. Неудобства возникают на стыке двух соседних зон. На топографических картах западной зоны одна система координат, а на соседних листах карт восточной зоны – другая. Поэтому на стыках зон предусмотрены перекрытия: западная зона расширена на восток, а восточная – на запад. Этим предоставляется возможность на стыке зон пользоваться картами в системе координат только одной зоны. Перекрытия смежных зон до широты 28° охватывают полосу шириной по долготе на 1°, на широтах от 28° до 76° – на 2° и на широтах более 76° – на 3°.

Для топографических планов масштаба 1: 5000 и 1: 2000 применяются трехградусные зоны, осевые меридианы которых совпадают с осевыми и граничными меридианами шестиградусных зон. При съемках городов и территорий под строительство крупных инженерных сооружений могут быть использованы частные зоны с осевым меридианом посередине объекта.

Таким образом, представляется аргументированным вывод, что проекция Гаусса-Крюгера имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, она объединяет такие положительные качества, как небольшое число зон, каждая из которых охватывает значительную территорию, ограниченную двумя меридианами с разностью долгот в 3° или 6°; умеренное и легко учитываемое изменение масштабов в пределах зон; единообразие всех зон; универсальность и глобальность координатных систем. С другой стороны, проекция Гаусса-Крюгера имеет и значительные недостатки. К ним, прежде всего, относятся отсутствие единой системы координат, вследствие чего при моделировании объектов, расположенных в нескольких зонах, возникают определенные проблемы, а также высокие искажения на краях зон.