Кроме того, для характеристики земного эллипсоида, а также для некоторых расчетов применяются понятия: полярное сжатие f земного эллипсоида, выражаемое формулой (1.2) [5]:

(1.2).

Также применяется такая характеристика, как эксцентриситет – постоянная положительная величина, характеризующая эллипс и гиперболу и равная отношению расстояния между фокусами данного конического сечения к расстоянию между вершинами. Эксцентриситет (е) определяется по формуле (1.3) [9]:

(1.3).

США и Канаде до недавнего времени использовали эллипсоид Кларка, рассчитанный еще в 1866 г., его большая полуось на 39 м короче, чем в российском эллипсоиде, а сжатие определено в 1: 295,0. Во многих странах Западной Европы и некоторых государствах Азии принят эллипсоид Хейфорда, вычисленный в 1909 г., а в бывших английских колониях – в Индии и странах Южной Азии, использу­ют рассчитанный англичанами в 1830 г. эллипсоид Эвереста. В 1984 г. на основе спутниковых измерений вычислен международный эллип­соид WGS-84 (World Geodetic System). Всего в мире насчитывается около полутора десятков разных эллипсоидов.

Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, получа­ются в несколько различающихся координатных системах, что со­здает неудобства. Однако для принятия единого международного эллипсоида требуется перевычислить координаты и пересоставить все карты.

Несовпадения бывают заметны главным образом на крупномас­штабных картах при определении по ним точных координат объек­тов. Но на широко используемых географами средне- и мелкомас­штабных картах такие различия не очень чувствительны.

Иногда вместо эллипсоида берут шар и тогда в качестве среднего радиуса Земли принимают величину R = 6367,6 км. Погрешности при замене эллипсоида шаром оказываются столь малы, что никак не проявляются на большинстве географических карт [5].

Для того чтобы добиться наименьших искажений, применяют также способ двойного проектирования: сперва эллипсоид проек­тируют на шар, а затем шар — на плоскость. При равновеликом отображении, когда площадь поверхности эллипсоида Красовского должна быть равна площади поверхности шара, радиус его ока­зывается равным R = 6 371 116 м. Для упрощения проектирования применяют и иные способы отображения эллипсоида на шар.

1.2 Искажения в картографических проекциях и их определение

П оверхность эллипсоида нельзя развернуть в плоскость с сохранением подобия всех очертаний. Если поверхность глобуса (модели земного эллипсоида, показанных на рисунке (1.2), разрезанную на полоски по меридианам (или параллелям), развернуть на плоскость, как представлено на рисунке (1.3), то в картографическом изображении произойдут разрывы или перекрытия, и с удалением от экватора (или от среднего меридиана) они будут возрастать. Вследствие этого, необходимо производить растяжение или сжатие полосок, как изображено на рисунке (1.4), чтобы заполнить разрывы по меридианам или параллелям. В результате растяжений или сжатий в картографическом изображении возникают искажения в длинах μ, площадях p, углах ω и формах k. В связи с этим масштаб карты, характеризующий степень уменьшения объектов при переходе от натуры к изображению, не остается постоянным: он меняется от точки к точке и даже в одной точке по разным направлениям. Поэтому следует различать главный масштаб ds, равный заданному масштабу, в котором происходит уменьшение земного эллипсоида, и частные ds′. На картах всегда подписывается главный масштаб.

Рис. 1.2 Поверхность глобуса [9]

Р ис. 1.3 Поверхность глобуса, разрезанная по меридианам [4]

Рис. 1.4. Карта мира, полученная растяжением зон [4]

Отношение частного масштаба к главному характеризует искажение длин µ и выражается при помощи уравнения (1.4) [9]:

(1.4).

Иными словами, величина μ есть отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к длине соответствующего ему бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида или шара. Аналогично определяется искажение площади (1.5) [5]:

(1.5).

Искажение форм k напрямую связано с искажениями углов (конкретным значениям ω соответствуют определенные значения k) и характеризует деформацию фигур на карте по отношению к соответствующим фигурам на местности. Искажения на географических картах тем больше, чем больше изображаемая территория, а в пределах одной карты искажения возрастают с удалением от центра к краям карты, причем скорость нарастания меняется по разным направлениям.

О размерах искажений позволяет судить эллипс искажений. Его размеры и форма отражают искажения длин, площадей и уг­лов, а ориентировка большой оси относительно меридиана и па­раллели – направление наибольшего растяжения. Большая ось эл­липса искажений характеризует наибольшее растяжение в данной точке, а малая ось – наибольшее сжатие, отрезки вдоль меридиа­на и параллели соответственно характеризуют частные масштабы по меридиану т и параллели п.

Рис. 1.5. Эллипс искажений, характеризующий искажения масштабов в данной точке (в центре эллипса).

a– направление наибольшего растяжения масштаба; θ – направление наи­большего сжатия масштаба; m – масштаб по меридиану; n – масштаб по параллели [5]

Определив значения m и n, а также измерив угол θ, под кото­рым пересекаются на карте меридиан и параллель, можно затем рассчитать значения наибольшего а и наименьшего b частных мас­штабов длин, частный масштаб площадей р в данной точке, а также значение искажения углов со по формулам (1.6; 1.7; 1.8; 1.9):

		(1.6)	[5]
		(1.7)
	;	(1.8)
		(1.9)

Если главные оси эллипса ориентированы по меридиану и па­раллели, то

a = m и b = n либо a = n и b = m, p = mn

[5].

Значения m, n, a, b и p измеряют в процентах или в долях от главного масштаба. Например, если a = 1,12, то это означает, что частный масштаб по направлению большой оси эллипса искажений составляет 1,12 (или 112%) от главного масштаба. Иногда в качестве показателей искажений используют отклонения от единицы: m –1, n – 1, a – 1, b – 1и р – 1 – эти показатели называются относительными искажениями. Если, например, a – 1 = 0,12, то это значит, что частный масштаб вдоль большой оси эллипса искажений преувеличен относительно главного масштаба на 0,12 (или 12%). Частный масштаб может оказаться и меньше главного, например, b = 0,85 (85%), т.е. масштаб преуменьшен на 0,15 (на 15%).